多元函数微分学(I)

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1、第十一章多元函数微分学11.1多元函数11.1.1多元函数的概念A.二元函数的定义例2.一定量的理想气体的压强p与容器体积V,绝对温度T之间有如下关系:例1.底面半径为r,高为h圆柱体体积V为:1定义设有三个变量x,y,z,如果变量x,y在R2的当x=x0,y=y0时,对应的z的取值z0记为:z0=f(x0,y0).x,y称为自变量,z称为因变量,自变量x,y的取值范围D称为定义域.某个子集D内任取一对数值,变量z按照一定的法则,取唯一确定的数值与之对应,则称变量z为变量x,y的二元函数,注意:f(a,b)f

2、(b,a);2三元函数u=f(x,y,z)及三元以上的函数的定义类似于二元函数的定义.一元函数y=f(x),数x对应于数轴上的点P(x),故可将y=f(x)看作是点P的函数y=f(P);同样,二元函数z=f(x,y),可将z=f(x,y)看作是平面点P(x,y)的函数z=f(P);对三元函数u=f(x,y,z),可将u=f(x,y,z)看作是空间点P(x,y,z)的函数u=f(P);一元或多元函数可统一地看作是点函数z=f(P);3B.多元函数的定义域在实际问题中产生的二元函数的定义域应该根据实际问题而确定,

3、此外就根据函数的表达式分析.R,xyO例3.求下列函数的定义域:4(2)解:Oxy11511.1.2点集的基本知识(1)邻域:以点P0(x0,y0)为圆心,>0为半径的圆内部点组成的点集,A.平面点集平面点集的表示法:E={(x,y)

4、(x,y)具有性质p},R2={(x,y)

5、x,yR}常见点集:称为点P0(x0,y0)的邻域,记作:N(P0,),xyN(P0,)6(2)去心邻域P0(x0,y0)xy(3)内点设P是平面点集E中的一点,若存在P的某个邻域N(P0,),使得N(P0,)

6、E,则称P为点集E的内点.7(4)外点若存在点P的某个邻域N(P0,),使得N(P0,)E=(空集),则称P为点集E的外点.外点内点边界点E如果点P的任一邻域内都有属于E的点,又有不属于E的点,则称P为点集E的边界点.E的边界点可以属于E,也可以不属于E.(5)边界点8(6)连通集如果点集E中的任意两点都可以用E中的一条折线连结起来,则称E是连通集.若点集E中的点都是内点,且E是连通集,则称点集E是一个区域.(8)闭区域开区域与它的边界的并集称为闭区域.(9)有界集与有界区域(7)区域(开区域)9B

7、.n维空间R3={(x,y,z)

8、(xR,yR,zR}中的有序数组(x,y,z)与空间中点具有一一对应的关系,故R3称为三维空间.推广之,Rn={(x1,x2,…,xn)

9、xiR,i=1,2,...,n},称为n维空间.平面点集中的有关邻域、区域等概念都可推广到n维空间。1011.1.3二元函数的几何表示给定z=f(x,y)zf(x,y)=0任取(x0,y0)R2,取z0=f(x0,y0),则点(x0,y0,z0)的坐标满足方程:zf(x,y)=0,点(x0,y0,z0)的全体是一张曲面,称为函

10、数z=f(x,y)的图形.我们已知:F(x,y,z)=0的图形是一张曲面.11例4.作出下列函数的图形:解:(1)是上半球面,球心在坐标原点O(0,0,0);(2)是上半圆锥面,顶点在坐标原点O(0,0,0);(3)是旋转椭圆抛物面,顶点在(0,0,2)处,开口朝下;(4)是旋转双叶双曲面位于xOy坐标面上方的一支;12等高线(等值线)工程上常用等高线来描述z=f(x,y)的图形(曲面),等高线就是:13三元函数u=f(x,y,z)是不能用三维空间的几何图形与之对应.但可以用等值面来描述和刻划,等值面:f(x,

11、y,z)=hi,通过对一系列的等值面的了解,从而对三元函数u=f(x,y,z)有所了解.1411.1.4多元函数的极限定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域内有定义,若动点P(x,y)以任意方式无限趋于点P0(x0,y0)(PP0)时,函数值f(x,y)总无限趋于一个确定的常数A,则称常数A为函数z=f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限,记作:15定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个去心邻域内有定义,如果对任意给定的正数,总存在正数,使得:当点P(x,

12、y)满足:则称常数A为函数z=f(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的(二重)极限.16例5.证明:解:17故取恒有:18求一元函数极限的四则运算性质,及夹逼性等例6.证明:极限性质都可以推广到多元函数的极限.19例7.讨论二元函数解:当P(x,y)沿过原点的直线y=kx趋于(0,0)时,当P(x,y)(0,0)时极限是否存在?此值随k而变化,故2011.1.5二元函数的连续性定