多元微分学的应用(I)

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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（三）多元微积分学第一章多元函数微分学第一章多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的计算

2、方法以及它与梯度的关系。会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道n元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉格朗日乘数法求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些较简单的最大值和最小值的

3、应用问题。多元微分学的应用●在几何方面的应用●在优化方面的应用●在几何方面的应用第一节空间曲线的切线与法平面一.空间曲线的切线空间中直线方程和平面方程是什么样子,已经不记得了.点法式点向式求空间曲线的切线与法平面的关键在于求曲线的切向量如果已知曲线上一点处的切向量为则曲线在该点的切线方程为曲线在该点的法平面方程为空间曲线上切线的概念曲线视为两个曲面的交线，其方程为：通常假设●●在实际应用中,常采用参数方程表示曲线：R3中曲线的表示若以x为参数，则曲线方程为：设曲线L的参数方程为..其中，割线PQ的方程为..设曲线L的参数方程为其中，曲线L在点P处的切线方程为.

4、.设曲线L的参数方程为其中，此处为零，则曲线在点P处无切线。奇点设曲线L的参数方程为其中，..曲线L在点P处的切线方程为关于曲线奇点的问题，可以参看●《微分几何》方德植编人民教育出版社1964.7●高等数学第Ⅲ卷《多元微积分与微分几何初步》萧树铁居余马主编清华大学出版社1997.4求圆柱螺旋线在任意一点处的切线及在t=0处的切线.螺旋线上任意一点处的切线方程为在t0=0时,切线方程为例解求圆柱螺旋线在任意一点处的切线及在t=0处的切线.螺旋线上任意一点处的切线方程为在t0=0时,切线方程为例解分母为零?！是直线方向向量的分量求圆柱螺旋线在任意一点处的切线及在t

5、=0处的切线.螺旋线上任意一点处的切线方程为在t0=0时,切线方程为例解现在想一想:将圆柱面切开展平后，其上的螺旋线会有一个什么性质与一个物理现象相符？这个性质在机械中被广泛应用，在日常生活中也常见。在点处，切线的方向余弦中有这说明在螺旋线上每一点处的切线与z轴正向的夹角斜面效应自锁现象均相同，故展开后螺旋线为直线.（常数）例求两个圆柱面的交线在点处的切线方程.我们只会求参数方程形式下曲线的切线方程，现在是求一般方程形式下曲线的切线方程.想想该怎么做?解例求两个圆柱面的交线在点处的切线方程.解设曲线的一般方程为可将它表示为参数方程形式:求切线方程的关键在于求首

6、先进行抽象分析假设以下所出现的各函数的导数均存在，由对每个方程两边求全导数，得解关于的二元一次方程组:当分母时，于是由行列式的性质：综上所述，设曲线满足条件：则曲线在点处的切线方程为现在可计算我们的例题了.故取例求两个圆柱面的交线在点处的切线方程.解令则代入切线方程中,得所求切线方程为小结切线方程曲线方程切线的方向向量看书时请留意一下，在什么条件下曲线的切线存在.过曲线L上点P，且垂直于曲线在该点的切线PT的平面称为曲线在点P的法平面。切线PT切点.二.空间曲线的法平面在曲线L上点P处，切线PT的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P处对应

7、的法平面方程分别为在曲线L上点P处，切线PT的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P处对应的法平面方程分别为在曲线L上点P处，切线PT的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P处对应的法平面方程分别为小心符号求两个抛物柱面的交线L在时的切线方程和法平面方程.当时，此时故所求切线方程和法平面方程分别为自己计算一下例解切线方程法平面方程求曲线在点处的切线方程和法平面方程.令则6，11421122=-=Pyx例解故所求的切线方程为法平面方程为谢谢观看！