多元微分学在几何中的应用(I)

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1、一.空间曲线的切线多元微分学在几何中的应用二.空间曲线的法平面三.空间曲面的切平面与法线曲线的切线、法平面曲面的切平面、法线本节关键概念和理论一.空间曲线的切线曲线视为两个曲面的交线，其方程为：通常假设●●在实际应用中,常采用参数方程表示曲线：R3中曲线的表示若以x为参数，则曲线方程为：设曲线L的参数方程为..其中，割线PQ的方程为..设曲线L的参数方程为其中，曲线L在点P处的切线方程为..设曲线L的参数方程为其中，此处为零，则曲线在点P处无切线。奇点设曲线L的参数方程为其中，..曲线L在点P处的切线方程为例求圆柱螺旋线在任意一点处的切线及在t=

2、0处的切线.螺旋线上任意一点处的切线方程为在t0=0时,切线方程为例解求圆柱螺旋线在任意一点处的切线及在t=0处的切线.螺旋线上任意一点处的切线方程为在t0=0时,切线方程为例是直线方向向量的分量解在点处，切线的方向余弦中有这说明在螺旋线上每一点处的切线与z轴正向的夹角均相同，故展开后螺旋线为直线.（常数）例例解设曲线的一般方程为设曲线满足条件：则则曲线在点处的切线方程为设曲线的一般方程为设曲线满足条件：例求两个圆柱面的交线在点处的切线方程.令则解代入切线方程中,得所求切线方程为切线方程曲线方程切线的方向向量小结过曲线L上点P，且垂直于曲线在该点的切

3、线PT的平面称为曲线在点P的法平面。切线PT切点.二.空间曲线的法平面在曲线L上点P处，切线PT的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P处对应的法平面方程分别为在曲线L上点P处，切线PT的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P处对应的法平面方程分别为在曲线L上点P处，切线PT的方向向量就是相应的法平面的法向量，故上述三种曲线方程在点P处对应的法平面方程分别为例求曲线在点处的切线方程和法平面方程.例例例解故所求切线方程和法平面方程分别为例解故所求切线方程和法平面方程分别为例求曲线在点处的切线方程和法平面方程.令则

4、6，11421122=-=Pyx例解故所求的切线方程为法平面方程为三.空间曲面的切平面与法线一个钢球放在一块平整光滑的钢板上平面球面相切设曲面的方程为任取一条过点P的曲线L，设其方程为此时有设对应于点则上式在t0处的全导数,在曲面上向量的数量积记则由上面的全导数可知:即这说明曲面上任一条过点P的曲线在点P处的切线与向量垂直,因此这些切线位于同一平面上,该平面即曲面在点P处的切平面.即是切平面的法向量.若过空间曲面上点M(x,y,z)处的平面.上，则称该平面为曲面在点M处的切处的切线均存在，且都位于同一个平面任意一条完全位于曲面上的曲线在点M曲面的

5、切平面的概念设R3中曲面的方程为不全为零,(2)函数在点处的各一阶偏导数切平面存在定理处(1)函数在点可微,在点在，其方程为有切平面存则曲面若过空间曲面上点M(x,y,z)且与曲面在点M处的切平面垂直的直线,称为曲面在点M处的法线。切平面的法向量可作为法线的方向向量曲面的法线的概念设R3中曲面的方程为则曲面在点的法线方程为定理不全为零,(2)函数在点处的各一阶偏导数处(1)函数在点可微,例例求椭球面在点处的切平面和法线方程.解令则切平面方程即法线方程例例求在点处的切平面和法线方程.解令则切平面方程：法线方程：令则曲面方程为时，例例证明：曲面上，任

6、意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.证令,则故曲面上任意一点处的切平面的法向量可取为例于是，切平面方程为由于点在曲面上，故切平面方程可化为证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.例这是平面截距式方程从而，切平面在各坐标轴上的截距之和为截距证明：曲面上，任意一点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.参数方程形式下曲面的切平面与法线方程设曲面由参数方程给出：对应于曲面上的点设曲面由参数方程给出：在点可微,则曲面在点处切平面的法向量为结论例求球面在对应于处的切平面方程和法线方程.解故例切平面方程:即法线方程:四.二元函数全

7、微分的几何意义练解