多元微分学在几何中的应用

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1、一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面。空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位置。点击图中任意点动画开始或暂停第六节多元微分学的几何应用8/24/202111.空间曲线方程为参数方程切线方程：则在(x0,y0,z0)处有切向量：法平面方程：法向量：8/24/20212例2求圆柱螺旋线在对应点处的切线方程和法平面方程。注：在方程中一般要求如个别为0,则理解为分子也为0。不全为0,8/24/202132.空间曲线方程为则在(x0,y0,z0)处有切线方程：法平面方程：例3求曲线在P0(

2、,2,0)的切线方程与且平面方程。8/24/202143.空间曲线为一般式方程则在P0(x0,y0,z0)处有切线方程法平面方程切向量（法向量）：8/24/20215注意：对于情形3，做题时最好用推导法，而不是死记公式。牢记此时：例2求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程。二、空间曲面的切平面与法线1.空间曲面方程为：命题：曲面上通过M(x0,y0,z0)点的所有曲线在M处的切线都在同一平面上，此平面称为在M点的切平面，其方程为8/24/20216证明：设曲面上任取一条通过点M的曲线方程为显然，只需

3、证明：则：曲线在M点的切向量为曲面在M点的切平面的法向量为（略）8/24/20217法线方程：通过M点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。2.空间曲面方程为：曲面在M处的切平面方程为：曲面在M处的法线方程为：8/24/20218切平面上点的竖坐标的增量全微分的几何意义：(1)z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面上的点的竖坐标的增量。(2)z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分存在曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面存在。例4求

4、旋转抛物面z=x2+y2-1点(2,1,4)处的切平面及法线方程。8/24/20219其中：若规定法向量的方向是向上的（即使得与z轴正向成锐角），则法向量的方向余弦为：解：设(x0,y0,z0)为曲面上的切点,则且得所求切点为：8/24/202110解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,因此有例6确定正数使曲面M(x0,y0,z0)相切。与球面在点8/24/202111课外作业8/24/202112思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面

5、上)8/24/202113证明曲面上任一点处的切平面都通过原点。提示:在曲面上任意取一点则通过此2.设f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程。点的切平面为8/24/2021141.证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为：则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题8/24/2021152.求曲线在点(1,1,1)的切线与法平面。解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为：由此得切线:法平面:即：8/24/202116