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《多元函数微分学在几何上的简单应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多元函数微分学在几何上的简单应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲线的弧长空间曲面的切平面与法线2007年8月1南京航空航天大学理学院数学系一、平面曲线的切线与法线曲线L：条件：上一点,近旁,F满足隐函数定理条件,可确定可微的隐函数:处的切线：2007年8月2南京航空航天大学理学院数学系总之,当例1求笛卡儿叶形线在点处的切线与法线.解设由§1例2的讨论近旁满足隐函数定理2007年8月3南京航空航天大学理学院数学系的条件.容易算出于是所求的切线与法线分别为例2用数学软件画出曲线的图象；并求该曲线在点处的切线与法线.2007年8月4南京航空航天大学理学院数学系解在MATLAB指令
2、窗内执行如下绘图指令:symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);就立即得到曲线L的图象(见本例末页图18－6).令容易求出:2007年8月5南京航空航天大学理学院数学系由此得到L在点处的切线与法线分别为：若在上面的MATLAB指令窗里继续输入如下指令,便可画出上述切线与法线的图象.holdon;a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))2007年8月6南京航空航天大学理学院数学系2007年8月7南京航空航天大学
3、理学院数学系例3设一般二次曲线为试证L在点处的切线方程为证2007年8月8南京航空航天大学理学院数学系由此得到所求切线为利用满足曲线L的方程,即整理后便得到2007年8月9南京航空航天大学理学院数学系二、空间曲线的切线与法平面先从参数方程表示的曲线开始讨论.对于平面曲线若是其上一点,则曲线在点处的切线为下面讨论空间曲线.2007年8月10南京航空航天大学理学院数学系(A)用参数方程表示的空间曲线:类似于平面曲线的情形,不难求得处的切线为过点且垂直于切线的平面,称为曲线L在点处的法平面(见后图).2007年8月11南京航空航天大学理学院数学系因为切线的方向向量即为法平面的法向量,所以法平
4、面的方程为(B)用直角坐标方程表示的空间曲线：设近旁具有连续的一阶偏导数,且2007年8月12南京航空航天大学理学院数学系不妨设于是存在隐函数组这也就是曲线L以z作为参数的一个参数方程.根据公式(2),所求切线方程为2007年8月13南京航空航天大学理学院数学系应用隐函数组求导公式,有于是最后求得切线方程为相应于(3)式的法平面方程则为2007年8月14南京航空航天大学理学院数学系解容易求得故切向向量为例4求空间曲线在点处的切线和法平面.由此得到切线方程和法平面方程分别为2007年8月15南京航空航天大学理学院数学系symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin
5、(t/2);ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:2007年8月16南京航空航天大学理学院数学系图18－82007年8月17南京航空航天大学理学院数学系例5求曲线在点处的切线与法平面.解曲线L是一球面与一圆锥面的交线.令根据公式(5)与(6),需先求出切向向量.为此计算F,G在点处的雅可比矩阵:2007年8月18南京航空航天大学理学院数学系由此得到所需的雅可比行列式:2007年8月19南京航空航天大学理学院数学系故切向向量为据此求得2007年8月20南京航空航天大学理学院数学系三、曲线的弧长弧长折线的极限弧长计算公式：对于空间简单曲
6、线：2007年8月21南京航空航天大学理学院数学系例：求平面曲线的弧长：例：求螺旋线一个螺距之间的长度：2007年8月22南京航空航天大学理学院数学系弧微分设曲线的参数方程为可以将弧长视为参数t的函数这样，可得弧长的微分（弧微分）为：2007年8月23南京航空航天大学理学院数学系自然参数既然弧长可以视为参数t的函数一定存在反函数！将反函数t=t(s)代入曲线参数方程即弧长s成为曲线的参数，称之为自然参数性质：为单位切向量今后用等分别表示2007年8月24南京航空航天大学理学院数学系四、曲面的切平面与法线以前知道,当f为可微函数时,曲面z=f(x,y)在点处的切平面为现在的新问题是:曲面
7、由方程给出.若点近旁具有连续的一阶偏导数,而且2007年8月25南京航空航天大学理学院数学系不妨设则由方程(7)在点近旁惟一地确定了连续可微的隐函数因为所以在处的切平面为又因(8)式中非零元素的不指定性,故切平面方程2007年8月26南京航空航天大学理学院数学系一般应写成随之又得到所求的法线方程为回顾1现在知道,函数在点P的梯度其实就是等值面在点P的法向量:2007年8月27南京航空航天大学理学院数学系回顾2若把由(4)表示的空间曲线L看作两曲
