11.5多元函数微分学在几何上的应用(1-18)

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1、§11.5多元函数微分学在几何上的应用1º空间曲线的切线与法平面(1)设空间曲线C的参数方程为xx(t)C:yy(t)tzz(t)其中x(t),y(t),z(t)可导且导数不同时为零设t=t0时,对应曲线C上的点为M0(x0,y0,z0)则曲线C在M0点处的切线方程xx0yy0zz0x'(t0)y'(t0)z'(t0)法平面方程:过M0点且垂直于切线的平面称为曲线C在M0点处的法平面方程lC若M0(x0,y0,z0)l{x'(t0),y'(t0),z'(t0)}M0则曲线C在M0点处的法平面方程x'(t0)(xx0)y'(t

2、0)(yy0)z'(t0)(zz0)0(2)如果空间曲线C的方程为F(x,y,z)0C:(1)G(x,y,z)0xx则从方程组可确定:C:yy(x)zz(x)其切线的方向:l{1,y'(x),z'(x)}将方程组(1)两边对x求导,有FxFyy'(x)Fzz'(x)0GxGyy'(x)Gzz'(x)0(F,G)(F,G)(x,z)(y,x)解得y'(x)z'(x)(F,G)(F,G)(y,z)(y,z)(F,G)(F,G)(x,z)(y,x)l{1.,}(F,G)(F,G)(y,z

3、)(y,z)(F,G)(F,G)(F,G){,,}(y,z)(z,x)(x,y)所以,切线方向:(F,G)(F,G)(F,G)l{,,}(2)(y,z)(z,x)(x,y)曲线C在M0点处的切线方程:xx0yy0zz0(F,G)(F,G)(F,G)(y,z)(z,x)(x,y)M0M0M0曲线C在M0点处的法平面方程:(F,G)(F,G)(F,G)(xx0)(yy0)(zz0)0(y,z)(z,x)(x,y)M0M0M0x说明:(1)切线的方向公式(2)可通过右图记忆yzF(x,y,z)

4、0(3)空间曲线C:的切线方向lG(x,y,z)0也可按下面的方法计算lF(x,y,z)0G(x,y,z)0n2n1Pn1F(x,y,z)n2G(x,y,z)Cijkln1n2FGFxFyFzGxGyGz222xyz6例求曲线的交线在点22zxyP0=(1,1,2)处的切线方程与法平面方程解令F(x,y,z)x2y2z2622G(x,y,z)xyzF(x,y,z){2x,2y,2z}{2,2,4}P0P0G(x,y,z){2x,2y,1}{2,2,1}P0P0在P0处的

5、切线方向l{2,2,4}{2,2,1}{10,10,0}即l{1,1,0}在P0处的切线方程x1y1z2110在P0处的法平面方程(x1)(y1)0即yx02º曲面的切平面与法线设曲面S的方程:F(x,y,z)0P0(x0,y0,z0)S且设F(x,y,z)的各个偏导数存在,连续且不同时为零我们证明下面的结论:曲面S上通过P0点的任一曲线,在P0点处的C切线都在同一平面上L在S上通过P0点任意Pl0引一条曲线C设C的参数方程为Sxx(t)LC:yy(t)tPlzz(t)0设t=t0对应P0点,且

6、CSx'(t0),y'(t0),z'(t0)不全为零C在P0点处的切线方向:l{x'(t0),y'(t0),z'(t0)}由于C在S上,于是有Fxtytzt((),(),())0dF0dttt0Fx(x0,y0,z0)x'(t0)Fy(x0,y0,z0)y'(t0)Fz(x0,y0,z0)z'(t0)0F(x0,y0,z0)l0即S上的任一通过P0点的曲线C,在P0处的切线L都与F(x0,y0,z0)垂直由此证得:通过P0点的S上的任一曲线,在P0点处的切线L都落在过P0点且以F(x0,y0,z0)为法向的平面上,这一平面就称为曲

7、面S在P0点处的切平面曲面S在P0点处的切平面方程:Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0曲面S在P0点处的法线:通过S上P0点,且垂直于S在P0点处切平面的直线称为曲面S在P0点处的法线曲面S在P0点处的法线方程:xx0yy0zz0Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)说明:(1)对于曲面:F(x,y,z)0其梯度F(x,y,z)表示曲面在P=(x,y,z)处的切平面的法向,即nF(x,y,z)(2)对于等值面:F(x,y,z)

8、c即F(x,y,z)