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1、多元函数微分学在几何上的简单应用平面曲线的切线与法线空间曲线的切线与法平面曲线的弧长空间曲面的切平面与法线2007年8月1南京航空航天大学理学院数学系一、平面曲线的切线与法线曲线L：条件：上一点,近旁,F满足隐函数定理条件,可确定可微的隐函数:处的切线：总之,当例1求笛卡儿叶形线在点处的切线与法线.解设由§1例2的讨论近旁满足隐函数定理的条件.容易算出于是所求的切线与法线分别为例2用数学软件画出曲线的图象；并求该曲线在点处的切线与法线.解在MATLAB指令窗内执行如下绘图指令:symsx,y;ezplot(x^2+
2、y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);就立即得到曲线L的图象(见本例末页图18－6).令容易求出:由此得到L在点处的切线与法线分别为：若在上面的MATLAB指令窗里继续输入如下指令,便可画出上述切线与法线的图象.holdon;a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))例3设一般二次曲线为试证L在点处的切线方程为证由此得到所求切线为利用满足曲线L的方程,即整理后便得到二、空间
3、曲线的切线与法平面先从参数方程表示的曲线开始讨论.对于平面曲线若是其上一点,则曲线在点处的切线为下面讨论空间曲线.(A)用参数方程表示的空间曲线:类似于平面曲线的情形,不难求得处的切线为过点且垂直于切线的平面,称为曲线L在点处的法平面(见后图).因为切线的方向向量即为法平面的法向量,所以法平面的方程为(B)用直角坐标方程表示的空间曲线：设近旁具有连续的一阶偏导数,且不妨设于是存在隐函数组这也就是曲线L以z作为参数的一个参数方程.根据公式(2),所求切线方程为应用隐函数组求导公式,有于是最后求得切线方程为相应于(3)
4、式的法平面方程则为解容易求得故切向向量为例4求空间曲线在点处的切线和法平面.由此得到切线方程和法平面方程分别为symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:图18－8例5求曲线在点处的切线与法平面.解曲线L是一球面与一圆锥面的交线.令根据公式(5)与(6),需先求出切向向量.为此计算F,G在点处的雅可比矩阵:由此得到所需的雅可比行列式:故切向向量为据此求得三、曲线的弧长弧长折线的极限弧长计
5、算公式：对于空间简单曲线：例：求平面曲线的弧长：例：求螺旋线一个螺距之间的长度：弧微分设曲线的参数方程为可以将弧长视为参数t的函数这样，可得弧长的微分（弧微分）为：自然参数既然弧长可以视为参数t的函数一定存在反函数！将反函数t=t(s)代入曲线参数方程即弧长s成为曲线的参数，称之为自然参数性质：为单位切向量今后用等分别表示四、曲面的切平面与法线以前知道,当f为可微函数时,曲面z=f(x,y)在点处的切平面为现在的新问题是:曲面由方程给出.若点近旁具有连续的一阶偏导数,而且不妨设则由方程(7)在点近旁惟一地确定了连续
6、可微的隐函数因为所以在处的切平面为又因(8)式中非零元素的不指定性,故切平面方程一般应写成随之又得到所求的法线方程为回顾1现在知道,函数在点P的梯度其实就是等值面在点P的法向量:回顾2若把由(4)表示的空间曲线L看作两曲面的交线(如图),则L在的切线与此二曲面在的法线都相垂直.而这两条法线的方向向量分别是故曲线(4)的切向向量可取的向量积:这比前面导出(5),(6)两式的过程更为直观,也容易记得住.例6求旋转抛物面在点解令则曲面的法向量为处的切平面和法线.从而由(9),(10)分别得到切平面为法线为()例7证明:曲
7、面的任一切平面都过某个定点(这里f是连续可微函数).()证令则有()于是曲面在其上任一点处的法向量可取为由此得到切平面方程:将点代入上式,得一恒等式:这说明点恒在任一切平面上.曲面也可以用如下双参数方程来表示:这种曲面可看作由一族曲线所构成:每给定v的一个值,(11)就表示一条以u为参数的曲线;当v取某个区间上的一切值时,这许多曲线的集合构成了一个曲面.现在要来求出这种曲面的切平面和法线的方程.为此假设且(11)式中三个函数在近旁都存在连续的一阶偏导数.因为在处的法线必垂直于上过的任意两条曲线在的切线,所以只需在上
8、取两条特殊的曲线:它们的切向量分别为则所求的法向量为至此,不难写出切平面方程和法线方程分别为解先计算在点处的法向例8设曲面的参数方程为试对此曲面的切平面作出讨论.量:由此看到,当时说明在曲面(12)而当时,法向量可取上存在着一条曲线,其方程为在此曲线上各点处,曲面不存在切平面,我们称这种曲线为该曲面上的一条奇线.与之对应的切平面则为法线则为当动点趋于奇线(1
