D561,2,3多元函数微分学在几何上的简单应用课件.ppt

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1、二、曲线的弧长第六节一、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学在几何上的简单应用第五章1一、空间曲线的切线与法平面1、空间曲线的参数方程（单参数）:可以看作是从区间的一个连续映射r的像,的轨迹就是曲线。r(t)的像就是向径当t在区间上变化时向径的终点M曲线也可以写为(直线的)2例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距.3设空间曲线的方程为2.简单曲线和有向曲线上连续，为连续曲线；如果向量值函数r(t)在区间如果为连续曲线，且任取都有，即在上r(t)为单射，则称为简单曲线。如果为简单曲线,且则称为简单闭曲线。则称4对于选

2、定了参数t的曲线，我们规定t增大的的方向为曲线的正方向。对于规定了方向的曲线，我们称为有向曲线。一般讨论的曲线均为有向曲线。3.空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程为其中向量值函数r(t)在上可导5切线方程。我们来讨论在点处的与平面曲线的切线一样，空间曲线上点处的切线也定义为曲线当点P沿曲线趋向于点时的极限位置处的割线上过点6要求此切线方程。关键在于求出一个方向向量。。从而向量为此在的临近取点与P对应的向径分别为为割线的一个方向向量.易知也是割线的一个方向向量。对上式取极限有7从而割线变为曲线的切线，由此可见向径r(t)的导数相应的方向向量变为切线的

3、方向向量表示曲线在相应点的切线的方向向量。处切线的向量方程为曲线在相应点切向量8其中为曲线上动点M(x,y,z)的向径，t为参数。时，曲线上都存在切线。消去参数处的切线的对称式方程为若切线方向连续变化，此时称曲线为光滑曲线。如果不是光滑曲线，但将分成若干段后，如果每9段都是光滑曲线，则称为分段光滑曲线。过点且垂直于处切线的直线,称为曲线的法线，这些法线显然位于一个平面内，此平面为在点处的法平面法平面的法向量为,的方程为（点法式）所以法平面10例求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此所求切

4、线方程为（对称式）法平面方程为（点法式）即思考:光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量11曲线为一般式的情况光滑曲线隐函数方程组，曲线上一点,且有可表示为处的切向量为12则在点切线方程法平面方程（切线的切向量，即为法平面的法向量）有或13也可表为法平面方程(自己验证)几何意义14例5.求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1令(公式法）则即切向量15法平面方程即解法2方程组两边对x求导,得（直接法）曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得16切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量176.2曲线的弧长弧长折线的极限

5、对于空间简单曲线：的两个端点A,B分别对应,在上介于A,B之间分别沿t增大的方向依次取n-1个分点，他们把分成了n段。用直线段把相邻分点连接起来得到一折线，它的长度为18定理6.1弧长计算公式：如果不论分点怎么选取，最大长度折线长度有确定的极限s,线弧为可求长的.并称此极限为曲线的长,则称此曲即弧微分P2819弧微分设曲线的参数方程为可以将弧长视为参数t的函数这样，可得弧长的微分（弧微分）为：则t增大的方向也是s增大的方向，且有20定理6.1弧长计算公式：21证明：设分点对应的参数分别为，这样便有首先来求利用拉格朗日中值公式得其中22为使上式右端根式中

6、的函数在同一点处取值，将其变形得到于是有其中令，由定积分的定义和存在定理可知23利用不等式这样，由(6.13)(6.14)两式可知，要想证明弧长因为公式，只需要证明由(6.12)可知在上连续，从而一致连续，24证毕。于是只要便有故特别当时有25平面曲线为空间曲线的特例(z=0)：对于平面曲线弧长为(1)如果曲线弧由直角坐标方程给出:则参数方程为x=x,y=f(x),于是有ds=?26(2)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得27例计算摆线一拱的弧长.解:28例：求平面曲线的弧长：例：求螺旋线一个螺距之间的长度：29弧微分设曲线的参数方程为可以将弧长视为参

7、数t的函数这样，可得弧长的微分（弧微分）为：则t增大的方向也是s增大的方向，且有返回P1930自然参数既然弧长可以视为参数t的函数将反函数t=t(s)代入曲线参数方程即弧长s成为曲线的参数，称之为自然参数性质：为单位切向量316.3曲面的切平面与法线曲面的参数方程圆柱面方程其参数方程为向量的形式即圆柱面可以看作平面区域到的连续映射下的像。32解：任取一点如右图，则因此，球面可以看成是平面区域到的连续映射（6.22）的像。例6.6建立半径为的球面的参数方程。33一般的，曲面S看做某区域D到空间Oxyz的某一连续映射的像，从而S的方程可表为或写成向量的形式此二式称

8、为曲面的参数方程，曲面上的曲线的表示若