多元函数微分学在几何中的简单应课件.ppt

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1、6.3曲面的切平面与法线曲面的参数方程圆柱面方程其参数方程为向量的形式即圆柱面可以看作平面区域到的连续映射下的像。解：任取一点如右图，则因此，球面可以看成是平面区域到的连续映射（6.22）的像。例6.6建立半径为的球面的参数方程。一般的，曲面S看做某区域D到空间Oxyz的某一连续映射的像，从而S的方程可表为或写成向量的形式此二式称为曲面的参数方程，曲面上的曲线的表示若在D中固定则此映射r下的像点的集合应是曲面S上的一条曲线，称为曲面S上的u曲线，方程是同理可得曲面S上的v曲线的方程为这样，过曲面S上的每一点P，就有u曲线和一条v曲线，它们的交点就是P。u

2、曲线族和v曲线族构成曲面S上的参数曲线网。曲面S可以看成是映射r将平面uOv上的区域D在R3中变形后得到的，而D内的坐标网相应的变成了曲面S的参数曲线网。即为球面的经线。即为球面的纬线。复习例6.7机械工程中常见的一种曲面称为正螺面，它是当长为l的一动直线段在平面上匀速地绕与此平面垂直的轴旋转，而此直线段所在平面又匀速地沿此轴向上或向下运动时，该直线段的运动轨迹，是建立它的方程。解建立坐标系，是运动开始时直线段位于x轴的正方向上，且直线段以原点为起点。记为OM。设OM的旋转角速度为垂直移动的速度为b>0.正螺面上的任一点P(x,y,z)与z轴的距离为u。

3、令于是正螺面的参数方程为曲面的切平面与法线曲面S的参数方程为其中r在D内连续，在点存在偏导数且（点称为曲面的正则点）曲面S上过点的u曲线为其在的切向量为在点的切向量为同理可得v曲线上述u曲线和v曲线的切线若是正则点，所以向量不平行，以为法线方向确定了一个平面它是过点且向量的平面。其方程为在S上过点认做一条光滑曲线其中上式两端在处对求导，是何种关系？曲面S上过点的任一曲线在点的切线与平面线性表示，于是曲线在点的切向量可用故曲线在点的切线必在平面上。由曲线的任意性知：曲面S上过点的任一曲线在点的切线均在平面上。于是称平面为曲面在点的切平面。过点且垂直于切平面

4、的直线称为曲面在点处的法线。的方向向量称为法向量。法线于是S在点的切平面方程是：法线方程为：若均在区域D内连续，则称曲面S是一光滑曲面。若曲面S的方程是直角坐标方程且不妨设确定二元函数于是方程于是得曲面的参数方程于是故法向量取于是曲面在点的切平面方程为：法线方程为：若曲面S的方程是直角坐标方程于是曲面在点的切平面方程为：法线方程为：全微分的几何意义二元函数在点的全微分为二元函数的全微分是：用切平面上的改变量代替曲面上的改变量。----局部线性化例6.8求正螺面在处的切平面与法线方程，其中常数a为非零常数。解于是对应于点（a，-a，2）处的法向量可取为从而

5、得切平面方程法线方程例9.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程即法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)例10.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)