多元函数微分学的应用

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1、多元函数极值的应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限的定义²掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。²多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用定义证明例2当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3设，讨论是否存在？例4设，讨论是否存在？例5．求53、多元函数的连续性²一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含

2、在定义域内的区域或闭区域。²在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1．讨论函数在（0，0）处的连续性。例2．试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3．求例4．4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限存在，则有（相当于把y看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）如果极限存在，则有5对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1已知，则例2试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3设，求。例4设，求。例5设，则在(1,2)的值为（）。1、二元函数关于的高阶偏导数（二元

3、以上类似定义）,定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。例1．设，其中为常数，求：。5例2．设，求。3、在点偏导数存在在点连续4、偏导数的几何意义：表示曲线在点处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若，则可判定在点可微分。其中例1．证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。例2，证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若在可微，则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。5例1设，则例2设求。例3设，则例4函数在点(1,0,1)处的全微分为例5．设，，，求函数：对变量的全微分。3、多元函数

4、的全微分与连续，可偏导之间的关系²一阶偏导数在连续在可微在连续在有极限²在可微在的一阶偏导数存在²在可微在的方向导数存在四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则：变量树状图法则(1)511(2)zuxyxy(3)例1．设，具有连续二阶偏导数，求。例2．设是由方程所确定的函数，其中可导，求。例3．设，具有连续二阶偏导数，求。例4．设，可导，则（）。例5．设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。例6．设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。例7记，具有连续二阶偏导数，求，。例8设，而，，求和。11例9设，而，，则。例10．设，又具有连续的二阶偏导数，求。2．一阶全微分形式不变性

5、：设，则不管是自变量还是中间变量，都有²通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。²当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1．设其中都可微，求。五、隐函数的求导法则1、，求方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：2．，求方法1（直接代公式）：方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：11，3．建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。例1．设，其中是由确定的隐

6、函数，求。例2．设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。例3．设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线切线向量切线向量切线向量111、曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数法线向量法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，在法向量的方向余弦为：例1曲线在点(a,0,0)的切线方程例2在曲面上求出切平面，使得切平面与平面平行。例3曲面在点(1,2,0)处的法线方程。例4在第一卦限内作椭圆的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体

7、积最小，求切点的坐标。例5曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。例6在球面上求一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。例7.在曲线，，上求点，使该点处曲线的切线平行平面。11例8设具有一阶连续偏导数，且，对任意实数有，试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。例9由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处指向外侧的单位法向量，七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公式在沿方向的方向导数为：①设为上一点，则②设的