多元函数微分学的几何应用(IV)

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1、一、一元向量值函数及其导数设空间曲线的方程方程(1)也可以写成向量形式：则方程(1)就成为向量方程方程(2)确定了一个映射f：定义:只讨论一元向量值函数,且n=3的情形，即r是三维向量；并将一元向量值函数简称为向量值函数，普通实值函数称为数量函数.向量值函数f也可表示为设向量r的起点在坐标原点O,终点在M处，当t变化时，r跟着变化，从而点M也随之改变.终点M的轨迹称为向量值函数的终端曲线,也称为向量值函数的图形.向量值函数的极限、连续、导数等定义和数量函数的相应概念类似.r定义2设函数在点的某邻域内有定义,存在,在点处可导,并称此极限为在点的导数.记作:即则称函数若解：设空间曲线的方程(1

2、)式中的三个函数均可导.二、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.解切线方程法平面方程1.空间曲线方程为法平面方程为特殊地：2.空间曲线方程为切线方程为法平面方程为所求切线方程为法平面方程为设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线三、曲面的切平面与法线由于曲线在光滑曲面上通过点M的任何曲线在点M处的切线都在同一平面上.两边对t求导,切向量点事实上,因在曲面上,的任意性,从而切平面存在.量的同一平面上，表明这些切线都在以此平面称为

3、曲面在该点的切平面.为法向曲面在点M的法向量法线方程切平面方程特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令其中法向量解切平面方程为法线方程为解令切平面方程法线方程解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结思考题思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程练习题练习题答案作业P1003,8