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《多元函数微分学的几何应用(V)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章第七节机动目录上页下页返回结束多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线和法平面二、曲面的切平面和法线一、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的机动目录上页下页返回结束限位置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极法平面.点击图中任意点动画开始或暂停设空间曲线的参数方程为设(1)式中的三个函数均可导，情形1机动目录上页下页返回结束各项同除以仍为方向向量：割线的方向向量为:机动目录上页下页返回结束——切线的方向向量，简称切向量。曲线在M处的切线方程曲线在M处的切向量法平面：过M点且与切线垂直的平面.机动目录上页下页返回结束特殊地,如果空间曲线方程为法平面方程为切
2、线方程为机动目录上页下页返回结束切向量为解切线方程法平面方程机动目录上页下页返回结束空间曲线方程为情形2机动目录上页下页返回结束法平面方程为切线方程为机动目录上页下页返回结束切向量为机动目录上页下页返回结束利用公式，所求切向量为则所求切线方程为法平面方程为解：二、曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束设曲面方程为情形1机动目录上页下页返回结束在曲面S上任取一条通过点M0的曲线L，均可导，并设式中的三个函数机动目录上页下页返回结束此式表明，向量与曲线在M0处的切向量切平面方程为法线方程为机动目录上页下页返回结束特殊地：如果空间曲面方程形为曲面在M0处的切平面方程为曲面在M0处的法线方程为令
3、曲面在M0处的法向量为机动目录上页下页返回结束解令切平面方程法线方程机动目录上页下页返回结束例4.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录上页下页返回结束,因此有设曲面方程为情形2机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解:所求切平面方程为：所求法线方程为：机动目录上页下页返回结束xzy0PQMNxyABdz=AB:切面z坐标的增量z=f(x,y)z=AN：曲面z坐标的增量过点M的切平面：即：dzz=AB+BN.dz=AB用切面z坐标的增量近似曲面z坐标的增量dz三.全微分的几何意义复习一元函数微分机动目
4、录上页下页返回结束切平面上点的z坐标的增量因为曲面在M0处的切平面方程为全微分的几何意义机动目录上页下页返回结束证明：曲面上任一点处的切平面都通过原点。证明：在曲面上任意取一点则通过此点的切平面为例6：设f(u)可微，第七节目录上页下页返回结束又代入切平面方程得第七节目录上页下页返回结束上任一点处的切平面都通过原点。例7：证明曲面平面恒与定直线平行，证明：曲面上任一点的法向量为取定直线的方向向量为则(定向量)的所有切机动目录上页下页返回结束故结论成立.四、向量函数简介机动目录上页下页返回结束1、向量函数机动目录上页下页返回结束定理2：定义4（可导性）：如果极限机动目录上页下页返回结束导，其导
5、数为存在，定理3：定理4：机动目录上页下页返回结束定义5（向量函数的积分）：2、空间曲线的向量表示处的导向量就是该点的切向量.引进向量函数机动目录上页下页返回结束设空间曲线的参数方程为:3、向量函数的物理应用机动目录上页下页返回结束1.空间曲线的切线与法平面1)参数方程切向量四、内容小结机动目录上页下页返回结束切向量2)一般方程1)隐函数方程法向量2.空间曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束2)显函数方程法向量3)参数方程法向量作业习题7-7(P108)5，8，10，12，14机动目录上页下页返回结束课堂练习1、设方程是x,y的函数,连续,且求确定u1、如果平面与椭球面相切，解:设切点
6、为则机动目录上页下页返回结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)备用题解切平面方程为法线方程为机动目录上页下页返回结束解由题意：机动目录上页下页返回结束切线与法平面.4、求曲线在点(1,1,1)的解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即机动目录上页下页返回结束5、设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.机动目录上页下页返回结束曲线在点解:M(1,1,1)处切线的方向向量(1)机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数解设为曲面上的切点,切平面
7、方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得机动目录上页下页返回结束因为是曲面上的切点，所求切点为满足曲面方程则切平面方程为机动目录上页下页返回结束代入曲面方程解得xyoMN.f(x)dyx微分是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？=tanx复习一元函数微分即：.y微分的几何意义返回原页
