多元函数微分学(V)

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1、第七节多元函数的极值与最值一、多元函数极值1.一元函数极值定义3.多元函数极值定义极值的定义ABCDz=f(x,y)f在顶点A、B、C、D处有极大值xz0y7.多元函数的极值（广义的定义）ABCDz=f(x,y)f在点D处有极大值D是尖点，xz0y7.多元函数的极值（广义的定义）.z=f(x,y)xz0yADS定义：若在点(a,b)的某邻域内恒有f(x,y)f(a,b),称f(a,b)为极大值S是//xoy面的平面区域或平面曲线,Cf在S的每一点处有极大值吗？用以下广义的定义逐点判别7.多元函数的极值

2、（广义的定义）.xyz.该函数在原点处连续，但有o？问题：曲面在点(0,0)附近的形状是怎样的呢.8.曲面关于x轴对称，在Dxy:上考虑曲面过x轴，过y轴曲面关于y轴对称一、多元函数极值2.引例引例1yxzoδ一、多元函数极值2.引例引例2zyOx多元函数极值4极值的必要条件3.多元函数极值驻点定义5.极值的充分条件5.极值的充分条件例16.极值的充要条件举例例2非极值极小值极大值非极值是驻点极小值点极大值点驻点是)(727272721212121224321iiPfPACBAPPPP-----6.极值

3、的充要条件举例例3二、多元函数最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。前面已经讲过，如果f(x,y)在有界闭域D上连续，则f(x,y)在D上必定能取得最大值与最小值（最值定理）。这种使函数取得最大值与最小值的点既可能在D的内部，也可能在D的边界上。因此，在上述假设下：求函数最大值(最小值)的一般方法是：二、多元函数最值注:但这种做法由于要求出f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数f(x,y)的最大值(最小

4、值)一定在D的内部取得，而函数D内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值)。多元函数最值举例例4多元函数最值举例例52424-2xx)(8,30)sin(coscos2cos240cos212,00sin22cmxxxxxx==Þîíì=-+-=+-¹¹paaaaaaa驻点：所以上述方程组可化为、由于多元函数最值举例三、条件极值1.条件极值定义其几何意义为：xyz三、条件极值1.条件极值定义前面讲的一般的极值叫做无条件极值。条件极值举例例6条件极值举例例7问

5、题是：如果从约束条件φ(x,y)=0中解不出x或y，又怎么办？2.Lagrange乘数法2.Lagrange乘数法该方法还可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：Lagrange乘数法举例例8Lagrange乘数法举例求条件极值的步骤：Lagrange乘数法举例例9Lagrange乘数法举例例10四、杂例例11zyOx321球心极小极大四、杂例例11返回主页（RETURN）第九章结束