多元函数微分学的几何应用.ppt

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1、设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.第七节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程:切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.曲线在M处的法平面方程:解切线方程法平面方程1.空间曲线方程为法平面方程为特殊地：2.空间曲线方程为切向量切线方程为法平面方程为解所求切线方程为法平面方程为设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线二、曲面的切平面与法线令则切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切

2、平面的向量称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令解切平面方程为法线方程为法向量解令切平面方程法线方程法向量解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)例6.确定正数使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线小结提示:设切点切点满足曲面和平面方程思考与练习2.设f(u)可微,证明曲面上任一点处的切平面都通过原点

3、.提示:在曲面上任意取一点则通过此证明原点坐标满足上述方程.点的切平面方程1.证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题2.求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.3.设z=z(x,y)由方程确定，其中f(u,v)可微证明z=z(x,y)表示锥面为曲面上一点,则连接PP0的直线的方程为证得出直线上的点都在曲面上，所以曲面是以(a,b,c)为顶点的锥面。代入曲面方程，得练习题练习题答案