浅谈多元函数微分学的应用

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1、浅谈多元函数微分学的应用多元函数微分学是一元函数微积分的推广，是高等数学中的一个重要篇章，在几何、经济、物理等领域都有着广泛的实际应用。本次研究总结了其在几何和经济问题中的几种应用类型，对于多元函数微分学相关问题的求解有着一定的指导归纳作用。　　关键词多元函数微分学几何应用经济应用　　：O175：A　　　　DiscussestheApplicationofMultivariateFunctionDifferentialCalculus　　CHENGMin,XIONGultivariatefunctiondifferentialcalculusisapromotionofcircularfunc

2、tioncalculus,itisanimportantpartofAdvancedMathematics,anditisetric,Economy,Physics,etc.ThisresearchsummarizesitsapplicationinGeometricandEconomy,ehelpforthestudyofrelativeproblemsofmultivariatefunctiondifferentialcalculus.　　Keyultivariatefunction;differentialcalculus;Geometricapplication;Economicapp

3、lication　　　　0前言　　多元函数微分学是一元函数微分学的扩展，目前在几何、物理、经济等多个范畴内都得到了实际应用。在求解平面几何以及立体几何中的一些问题上，适当引入多元函数微分学可以达到化繁为简、加深理解的目的。例如：利用多元函数微分学，可以求解空间曲线的切线与法平面方程；空间曲线的切向量与法向量、空间曲面的切平面与法线、空间曲线的切线与法平面等几何问题。而在求解经济学中生产函数与生产要素中的关系时，我们也可以建立产量（Q）与资本投入量（K）、劳动力投入量（L）之间的二元函数关系，并运用偏微分法对生产函数Q=f（K，L）进行经济分析，从而达到最大限度地提高经济效益的目的。总之，熟练掌

4、握多元函数微分学在各方面的实际应用，对于进一步加深理解微分概念，应用数学工具去解决实际问题是十分重要的。　　1多元函数微分学几何应用举例　　1.1关于曲线参数方程及法线方向向量的定义　　在多元函数微分学的几何应用中，关于曲线参数方程和法线方向向量的求解是经常用到的，也是学习求解空间曲面切平面与法平面的基础。因此，本文介绍了用多元函数微分法求解上述问题的做法，利用该方法在处理隐函数形式给出的平面曲线某点的切线或法线问题时，能够简化解题步骤，使问题变得更简单。　　在解析几何中，往往需要求解曲线在其上某点处的切线与法线方程。设平面曲线L的参数方程为：　　　　其中x=(t)，y=(t)均可导，曲线L上

5、点M0(x0，y0)对应参数t=t0。假定'(t0)、'(t0)不同时为零，则曲线L过点M0的切线方程为：　　（x-x0）/'(t0)=（y-y0）/'(t0)①　　设平面曲线L的方程为f(x，y)=0，M0(x0，y0)是曲线上的点。假设函数f(x，y)的偏导数在该点的某邻域内连续，且fx(x0，y0)，fy(x0，y0)不同时为零。则曲线L在M0处的法线的方向向量为：　　={fx(x0，y0)，fy(x0，y0)}②　　1.2用多元函数微分法求解曲线方向导数和法线方程　　借助于上述定义，下面举例说明多元函数微分法在平面几何中的应用。　　例1：已知函数f(u，v)有连续的偏导数，且f(1,1

6、)=1，fu(1,1)=2，fv(1,1)=4，求曲面xf(3x-2y，2y-x)=Z在(1,1,1)点处沿xoy平面上曲线2x2+y2=1在(1,1)点法线向上方向的方向导数。　　解：因为Z=xf(3x-2y，2y-x)，则　　Z对x偏导=f(3x-2y，2y-x)+x(3fu-fv)　　Z对y偏导=2x（-fu+fv）　　令曲线方程F(x，y)=2x2+y2-1，则Fx=4x，Fy=2y，由②可知，曲线在(1，1)点的法线方向向量={2，1}，所以，曲面沿指定曲线在(1，1)点法线向上方向的方向导数为：　　　　例2设函数y=f(x)由方程ex+3y-3cos(xy)=e2-3所确定，则曲线

7、y=f(x)在点(2，0)处的法线方程为（）。　　解：令F(x,y)=ex+3y-3cos(xy)-e2+3，则　　Fx=ex+3y+3ysin(xy)　　Fy=3ex+3y+3xsin(xy)　　于是所求法线的方向向量为：　　={Fx，Fy}={1，3}　　所求法线方程为：3x-y-6=0　　2多元函数微分学生产应用举例　　2.1关于生产函数及边际产量的定义　　根据微观经济学相关理论，产品数量是