多元函数微分学及其应用归纳总结

《多元函数微分学及其应用归纳总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限²（或）的定义²掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令沿趋向，若极限值与k有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。²多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用定义证明例2（03年期末考试三、1，5分）当时，函数的极限是否存在？证明你的结论。例3设，讨论是否

2、存在？例4（07年期末考试一、2，3分）设，讨论是否存在？6例5．求3、多元函数的连续性²一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。²在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1．讨论函数在（0，0）处的连续性。例2．（06年期末考试十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3．求例4．4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数关于的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义）如果极限存在，则有（相当于把y看成常数！所以求

3、偏导数本质是求一元函数的导数。）6如果极限存在，则有对于分段函数，在分界点的偏导数要用定义求。例1（08年期末考试一、3，4分）已知，则例2（06年期末考试十一，4分）试证在点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。例3设，求。例4设，求。例5（03年期末考试，一、2，3分）设，则在(1,2)的值为（）。1、二元函数关于的高阶偏导数（二元以上类似定义）,6定理：若两个混合二阶偏导数在区域D内连续，则有。例1．设，其中为常数，求：。例2．设，求。3、在点偏导数存在在点连续（07年，04年，02年等）4、偏导数的几何意义：表示曲

4、线在点处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若，则可判定在点可微分。其中例1．（08年期末考试十二、6分）证明函数在（0，0）处可微，但偏导数在（0，0）处不连续。6例2（07年期末考试七、6分），证明：（1）函数在（0，0）处偏导数存在；（2）函数在（0，0）处不可微。2、全微分的计算方法若在可微，则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1（08年期末考试，一，1，4分）设，则例2（07，04年期末考试，二，1，3分）设求。例3（06年期末考试，二、2，3分）设，则例4（03年期末考试，二

5、、2，3分）函数在点(1,0,1)处的全微分为例5．设，，，求函数：对变量的全微分。3、多元函数的全微分与连续，可偏导之间的关系（07年，04年，02年等）²一阶偏导数在连续在可微在连续在有极限²在可微在的一阶偏导数存在²在可微在的方向导数存在6四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则：变量树状图法则(1)613(2)zuxyxy(3)例1．（08年期末考试，七，7分）设，具有连续二阶偏导数，求。例2．（08年期末考试，十一，6分）设是由方程所确定的函数，其中可导，求。13例1．（07年期末考试，八，7分）设，具有连续二

6、阶偏导数，求。例2．（06年期末考试，一、1，3分）设，可导，则（）。例3．（04年期末考试，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明。例4．（03年期末考试，三、2，5分）设具有连续偏导数，证明方程所确定的函数满足。例7记，具有连续二阶偏导数，求，。例8设，而，，求和。例9设，而，，则。例10．设，又具有连续的二阶偏导数，求。2．一阶全微分形式不变性：设，则不管是自变量还是中间变量，都有13²通过全微分求所有的一阶偏导数，有时比链式求导法则显得灵活。²当复合函数中复合的层次较多，结构较为复杂时，

7、用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1．设其中都可微，求。五、隐函数的求导法则1、，求方法1（直接代公式）：，其中：，相当于把F看成自变量x，y的函数而对x求偏导数。方法2：直接对方程两边同时关于x求偏导（记住）：2．，求方法1（直接代公式）：方法2：直接对方程两边同时关于x（y）求偏导（记住）：，133．建议采用直接推导法：即方程两边同时关于x求偏导，通过解关于未知数的二元方程组，得到。同理可求得。例1．设，其中是由确定的隐函数，求。例2．设有隐函数，其中F的偏导数连续，求。例3．（04年期末考试

8、，三、1，8分）设可微，方程，其中确定了是的二元可微隐函数，试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程（三种形式）——参数形式，两柱面交线，两曲面交线切线向量切线向量13切线向量1、曲面的切平面与法线方程（两种形式）——隐函数，显示函数法线向量法线向量，规定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的