多元函数微分学及其应用归纳总结

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1、第八章多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念2、多元函数的极限²(或)的定义²掌握判定多元函数极限不存在的方法:(1)令沿趋向,若极限值与k有关,则可断言函数极限不存在;(2)找两种不同趋近方式,若存在,但两者不相等,此时也可断言极限不存在。²多元函数的极限的运算法则(包括和差积商,连续函数的和差积商,等价无穷小替换,夹逼法则等)与一元类似:例1.用定义证明例2(03年期末考试三、1,5分)当时,函数的极限是否存在?证明你的结论。例3设,讨论是否

2、存在?例4(07年期末考试一、2,3分)设,讨论是否存在?6例5.求3、多元函数的连续性²一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。²在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1.讨论函数在(0,0)处的连续性。例2.(06年期末考试十一,4分)试证在点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。例3.求例4.4、了解闭区域上商连续函数的性质:有界性,最值定理,介值定理二、多元函数的偏导数1、二元函数关于的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)如果极限存在,则有(相当于把y看成常数!所以求

3、偏导数本质是求一元函数的导数。)6如果极限存在,则有对于分段函数,在分界点的偏导数要用定义求。例1(08年期末考试一、3,4分)已知,则例2(06年期末考试十一,4分)试证在点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。例3设,求。例4设,求。例5(03年期末考试,一、2,3分)设,则在(1,2)的值为()。1、二元函数关于的高阶偏导数(二元以上类似定义),6定理:若两个混合二阶偏导数在区域D内连续,则有。例1.设,其中为常数,求:。例2.设,求。3、在点偏导数存在在点连续(07年,04年,02年等)4、偏导数的几何意义:表示曲

4、线在点处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若,则可判定在点可微分。其中例1.(08年期末考试十二、6分)证明函数在(0,0)处可微,但偏导数在(0,0)处不连续。6例2(07年期末考试七、6分),证明:(1)函数在(0,0)处偏导数存在;(2)函数在(0,0)处不可微。2、全微分的计算方法若在可微,则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1(08年期末考试,一,1,4分)设,则例2(07,04年期末考试,二,1,3分)设求。例3(06年期末考试,二、2,3分)设,则例4(03年期末考试,二

5、、2,3分)函数在点(1,0,1)处的全微分为例5.设,,,求函数:对变量的全微分。3、多元函数的全微分与连续,可偏导之间的关系(07年,04年,02年等)²一阶偏导数在连续在可微在连续在有极限²在可微在的一阶偏导数存在²在可微在的方向导数存在6四、多元复合函数求导法则1、链式求导法则:变量树状图法则(1)613(2)zuxyxy(3)例1.(08年期末考试,七,7分)设,具有连续二阶偏导数,求。例2.(08年期末考试,十一,6分)设是由方程所确定的函数,其中可导,求。13例1.(07年期末考试,八,7分)设,具有连续二

6、阶偏导数,求。例2.(06年期末考试,一、1,3分)设,可导,则()。例3.(04年期末考试,三、1,8分)设可微,方程,其中确定了是的二元可微隐函数,试证明。例4.(03年期末考试,三、2,5分)设具有连续偏导数,证明方程所确定的函数满足。例7记,具有连续二阶偏导数,求,。例8设,而,,求和。例9设,而,,则。例10.设,又具有连续的二阶偏导数,求。2.一阶全微分形式不变性:设,则不管是自变量还是中间变量,都有13²通过全微分求所有的一阶偏导数,有时比链式求导法则显得灵活。²当复合函数中复合的层次较多,结构较为复杂时,

7、用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1.设其中都可微,求。五、隐函数的求导法则1、,求方法1(直接代公式):,其中:,相当于把F看成自变量x,y的函数而对x求偏导数。方法2:直接对方程两边同时关于x求偏导(记住):2.,求方法1(直接代公式):方法2:直接对方程两边同时关于x(y)求偏导(记住):,133.建议采用直接推导法:即方程两边同时关于x求偏导,通过解关于未知数的二元方程组,得到。同理可求得。例1.设,其中是由确定的隐函数,求。例2.设有隐函数,其中F的偏导数连续,求。例3.(04年期末考试

8、,三、1,8分)设可微,方程,其中确定了是的二元可微隐函数,试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程(三种形式)——参数形式,两柱面交线,两曲面交线切线向量切线向量13切线向量1、曲面的切平面与法线方程(两种形式)——隐函数,显示函数法线向量法线向量,规定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的

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