（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业 专题10 空间向量及运算（背）.doc

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1、专题10空间向量及其运算【背一背】一、空间向量的有关概念：１.在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模（），向量也用有向线段表示（）．２．零向量：长度为０的向量叫做零向量，记为．３．单位向量：长度为１的向量称为单位向量．４.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．５．相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为．1月20日星期五二、空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：＝＋＝；＝－＝.加法运算律(1)交换律：a＋b＝(2)结

2、合律：(a＋b)＋c＝；向量的数乘运算及运算律(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同，λ<0时，λa与向量a方向相反，a的长度是a的长度的倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：；结合律：共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得(3)方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，其

3、中向量a叫做直线l的方向向量．共面向量(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．3(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使．对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使．六、空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，

8、记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝交换律a·b＝分配律a·(b＋c)＝(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔.②若a与b同向，则a·b＝；若反向，则a·b＝.特别地：a·a＝

9、a

10、2或

11、a

12、＝.③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④

13、a·b

14、≤

15、a

16、·

17、b

18、.七，空间向量运算的坐标表示1．空间向量的直角坐标运算律设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；3(4)a·b＝；(5)a∥b⇔；(6)a⊥b⇔.2．几个重要公式(1)若A(x1，y1，z1)、

19、B(x2，y2，z2)，则＝_.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

20、a

21、＝＝，

22、b

23、＝＝.(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝(a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则＝=_.3