（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业 专题10 空间向量及运算（学）.doc

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1、专题十空间向量及其运算学一学------基础知识结论1.向量的数乘运算及运算律(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同，λ<0时，λa与向量a方向相反，a的长度是a的长度的倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：；结合律：2.空间向量的数量积运算2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

2、a

3、

4、b

5、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝交换律a·b＝分配律a·(b＋c)＝(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①

6、若a，b是非零向量，则a⊥b⇔.②若a与b同向，则a·b＝；若反向，则a·b＝.特别地：a·a＝

7、a

8、2或

9、a

10、＝.③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④

11、a·b

12、≤

13、a

14、·

15、b

16、.3.空间向量运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；(4)a·b＝；(5)a∥b⇔；3(6)a⊥b⇔学一学------方法规律技巧1.用已知向量表示未知向量.空间内用已知向量表示未知向量理论依据是空间向量基本定理，即选定三个不共面向量，则对于空间内任意一个向量，都可以用表示.其实质是将空间向量问题转化为平面向量.例1.如图，已

17、知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量，，表示向量.2.如何求平面的法向量解决立体几何问题时，注意求解方法既可以用传统的几何方法解决，又可用向量方法处理，在求直线和平面所成的角、二面角时，正确求出法向量的坐标是关键，常见的求法向量方法有两种：①方程法；②双0速算法．例2．分别求解下列两问：若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________．（２）已知向量是平面内的两个不共线向量，且，，求平面的一个法向量33．判断若个点共面（或向量共面）　①证明四点共面，可在四点之中，构造向量，先利用

18、空间向量共面定理证明向量共面，进而证明四点共面；②证明向量共面，将其中一个向量用另外两个向量表示，进而根据空间向量基本定理证明向量共面，其中灵活地进行向量的合成与分解是关键．例3．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)证明：A、E、C1、F四点共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.1月20日星期五3