（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业 专题11 立体几何中的向量方法（背）.doc

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1、专题11立体几何中的向量方法【背一背】一、空间向量与平行关系1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m⇔⇔⇔.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔⇔⇔.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(

2、a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔⇔⇔空间向量与垂直关系1．空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔_设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔2.空间中垂直关系的证明方法线线垂直线面垂直面面垂直3①证明两直线的方向向量的数量积为0．①证明直线的方向向量与平面

3、的法向量是共线向量．①证明两个平面的法向量垂直．②证明两直线所成角为直角.②证明直线与平面内的相交直线垂直.②证明二面角的平面角为直角._.1月20日星期五空间向量与空间角1．空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝＝直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝二面角设二面角α—l—β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则

4、cosθ

5、＝_________[0，π解决立体几何问题时，注意求解方法既可以用传统的几何方法解

6、决，又可用向量方法处理，在求直线和平面所成的角、二面角时，正确求出法向量的坐标是关键，下面总结两种常见的求法向量坐标的方法，希望大家掌握这个一重要技能.方程法利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设置可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以了.双0速算法在实际中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现2个0，就可以快速求得法向量，而且正确率高，在考试中作用明显，举例说明例题：已知向量是平面内的两个不共线向量，且，，求

7、平面的一个法向量3解：先找一个与垂直的向量，因为，故可先取的坐标分别为，z的值待定，即，又因为，即，所以，取.3