2012导数及其应用专题

《2012导数及其应用专题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、导数及其应用一、高考回顾：导数是既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。二、考试要求：(1)了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导

2、数的几何意义。理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三.基础知识梳理：1.导数的有关概念。(1)定义：函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度等。(3)几何意

3、义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。2.求导的方法：(1)常用的导数公式：C/=0（C为常数）；(xm)/=mxm-1(m∈Q);(sinx)/=cosx;(cosx)/=-sinx;(ex)/=ex;(ax)/=axlna;.5(2)两个函数的四则运算的导数：(3)复合函数的导数：3.导数的运用：(1)判断函数的单调性。当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)>0，则f(x)为增函数；如果f/(x)<0，则f(x)为减函数。(2)极大值和极小值。设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0

4、附近所有的点，都有f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。四.例题讲解：例1.(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；(2)若f(x)在R上可导，且f(x)=f(-x)，求f/(0)。例2.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。5例3.已知抛物线C：y=x2+2x，按下列条件求切线方程：(1)切线过曲线上一点（1，3）。(2)切线过抛物线外的一点（1，1）。(3)切线的

5、斜率为2。拓展：点P为抛物线C:：y=x2+2x上任意一点，则点P到直线y=2x-2的最小距离为_______。例4.设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能是（）（2004年全国高考浙江卷（数学理科）第11题）例5．已知(1)求f(x)的极值；(2)求y=f(x)在x∈[0,3]上的最值；(3)解不等式f(x)≥1。5例6（选讲题）设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两

6、点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：

7、f(x1)-f(x2)

8、≤。例7（选讲题）已知平面向量=(,-1).=(,).(1)证明⊥；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3)，=-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.【临阵磨枪】1．曲线上切线平行于x轴的点的坐标是2．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角的范围为3．函数的增区间是4．若函数f(x)在点处的导数存在，则它所对应的曲线在点处的切

9、线方程是_____________。5、求下列函数的导数：（1）f（x）=e（2）f（x）=6．求证方程在区间内有且仅有一个实根5答案：【临阵磨枪】1．（-1，2）或（1，-2）2．锐角3．（，0）4．5、（1）2ecosx（2）6．证明：在∴在内与轴有且仅有一个交点∴方程在内仅有一解5