专题六导数及其应用

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1、专题六导数及其应用方法技巧储备一、导数概念及其运算熟练运用导数的定义求函数在某点或某个区间内的倒数，运用运算法则及复合函数的求导法则，进行简单的求道运算.【例1】设/（兀）在点无处可导，a"为非零常数，则”皿/（如皿从）7（""从）=（）△joAxA.f（兀）B.（q+C.（a—b）f（x（））D.广（x°）二、利用导数求曲线的切线方程-由于函数=/（x）在处的导数表示曲线在点P（x0,/（x0））处切线的斜率，因此曲线y=/（x）在点戶（无）,/（勺））处的切线方程可按如下步骤求得：第一，求出函数y=f（x）在x=x（）处的导数，即曲线y=/（兀）

2、在点P（x0,/（x0））处的切线率.第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+r（x0）（x-x0）.如果曲线y=f（x）在点P（x0,/U0））处的切线平行于y轴（此时倒数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x=x0.【例2]（2009安徽）已知函数/（兀）在/?上满足/U）=2/（2-x）-r+8x-S则曲线y=/（x）在点（1,/（1））处的切线方程是（）A.y=2x-lB.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3三、求可导函数单调区间的一般步骤和方法1•确定函数/（兀）的定义区间；2.求f（x）,令fx）=0,解此

3、方程，求出它们在定义区间内的一切实根；3.把函数/（x）的间断点（即/（兀）的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数/（兀）的定义域分成若干个小区间；2.确定广（兀）在各个区间内的符号，根据广（x）的符号判定函数/（兀）在每个相应小区间内的增减性.2【例3】（2009安徽）已知函数/（x）=jc——+a（2-lnx）,a>0,讨论/（兀）的单调性.x四、求可导函数/（无）极值的步骤；1.求导函数f(x)；2.求方程fx)=0的根；3.检验.广(x)在方程f(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧

4、附近为负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正,那么函数丁=/(劝在这个根处取得极小值.【例4】定义在上的函数f(x)=x3+ax2^bx(a、为常数)在x=-l处取得极值，且/(%)的图像在P(l,/(1))处的切线平行于直线y=求函数/(x)的解析式及极值.五、求可导函数最大值与最小值的步骤1.求y=/(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值);2.将y=/(x)在各极值点的极值与/⑺)、/(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.函数在定义域中可能没有最大值或最小值，但在闭区间上连续的函

5、数在该区间上一定有最大值和最小值.3【例5］已知函数/（兀）=%3——mx2+n,1

6、圾处理厂厂，对其城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A和城B的影响度之和记C点到城A的距离为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成兀的函数；(2)讨论(1)中的函数的单调性，并判断A3上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城4和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城4的距

7、离；若不存在，说明理由.易混易错知识储备一、公式应用错误【易错题1】函数)=3"的导数为.二、导数的几何意义不清致误【易错题2】曲线/(兀)=疋-3无,过点力(0,16)作曲线/(兀)的切线，求曲线的切线方程.三、分类讨论不全【易错题3】已知f(x)=c^-6ax2+Z?,/(0)=/?,/(4)=-32a+b的大小即可.四、极值概念理解不全面【易错题4】求y=(x2-l)3+l的极值.