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1、导数及其应用专题讲解【知识点归纳+概念理解】1.导数的概念函数y二f(x),如果自变量X在X。处冇增量Ax,那么函数y相应地有增量Av=/(x0+Ar)"/(心)，比值型叫做函数y=f⑴在x()到兀。+心Z间的平均变化率，即yg+心)-/(兀°)。2Ax如果当AxtO时，空冇极限，我们就说函数y=f(x)在点x。处可导，并把这Ar个极限叫做f(X)在点X。处的导数，记作八兀。)或y'
2、_oo即f(x。)二lim冬二limg+S-g°心->oAx心->0Ax说明：(1)函数f(x)在点X。处可导，是指心TO时，乞有极限
3、。如果坐不存在极°AxAr限，就说函数在点X。处不可导，或说无导数。(2)Ax是自变量x在x()处的改变量，AyhO时，"ijAy是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y二f(x)在点x°处的导数的步骤：①求函数的增1量二f(x0+Ax)—f(x0)；②求平均变化率型二/(兀。+心)_于(兀。)；③取极限,得导数/(x0)=lim^o山t°Ax2・导数的几何意义函数y=f(x)在点X。处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x°))处的切线的斜率。也就是说，曲线y二f(x)在点p(x0,f
4、(x0))处的切线的斜率是/(x0)o相应地,切线方程为y—y0=fz(x0)(x—x0)o3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s二s(t),那么该物体在时刻t的瞬间速度v=5(r)o如杲物体运动的速度随时间的变化的规律是V=v(t),则该物体在时刻t的加速度a=v(z)o【导数的运算】1.基本函数的导数公式：①C=0;(C为常数)②(外严；(1)(sinx)r=cosx;@(cosx)r=-sinx;⑤(沙二以；®(axy=axlna;⑦(lz)‘=丄；X⑧(l°gn)‘・X2.导数的运算法则法则1：两个函数的和
5、(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，BIJ：(W±V)=U±V•法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第•个函数乘以第二个函数的导数，即:•1»（MV）=UV+UV•若C为常数，则(Cu)=Cu^Cu=O+Cu=Cu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cn)=G/'.法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数9与分子的积，再除以分母的平方：M(VHO)。I"丿V1.复合函数的导数形如y=f(p(x)］的函数称为复合函数。复合函数求导
6、步骤：分解一一>求导——>冋代。法则：yzIx=yzI*或者/S(x)］=/S)*0(x)・【导数的应用】1.函数的单调性与导数(1)设函数尸/⑴在某个区间(a,b)可导，如果f⑴〉0,则/(兀)在此区间上为增函数；如果则.f(x)在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有/'(x)=O,则/(兀)为常数。2.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3.最值：在区间［a,b］上连续的函数f(兀)在［a,b］
7、上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值，例/(x)=xxg(-1,1)o(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所冇函数值屮的最小值。(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以冇多冇少，但最值只冇一个,极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
8、练习：函数f(x)=x3-3x+在闭区间［-3,0］上的最大值、最小值分别是•【典例讲解】例1.设=恰冇三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。例2.已知函数/(兀)二疋+以2+处+d的图象过点P(0,2)，且在点M(-l,/(-l))处的切线方程为6%-y+7=0.(I)求函数y=/S)的解析式；(II)求函数y=f(x)的单调区间.例3.设函数/(x)=x3+&x2+cx(xeR),已知g(x)=f(x)-ff(x)是奇函数。(I)求b、c的值。(II)求g(Q的单调区间与极值。7例4.已知f(X)=
9、x3+ax2+bx^c在x二1,x=——时S都取得极值。3(1)求a、b的值。(2)若对xg[-1,2],都有/(%)<-恒成立，求c的取值范围。C例5.已知x=1是函数/(x)=mx3-3(m+l)x2+nx+的一个极值点，其屮m,n丘R,m<0,(T)求加与〃的关系式;(TT)求/(兀)的单调区间;(I)当xe[-l,l]时，函数y=/(
