专题6　导数及其应用

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1、专题6　导数及其应用一、填空题1．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－3)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________．2．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．3．已知函数f(x)的图象过点(0，－5)，它的导数f′(x)＝4x3－4x，则当f(x)取得最大值－5时，x的值应为________．4．三次函数f(x)＝mx3－x在R上是减函数，则m的取值范围是________．5．函数f(x)＝x＋2cosx在区间[0，π]

2、上的最大值为________．6．设m∈R，已知函数f(x)＝－x3－2mx2＋(1－2m)x＋3m－2，若曲线y＝f(x)在x＝0处的切线恒过定点P，则点P的坐标为________．7．设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．8．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________．9．已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数

3、g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y＝________.10．设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)＞0.则不等式f()＞f()的解集为____________．二、解答题11．(2012·徐州质检)在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示．设三个圆柱体积之和为V＝f(h)．(1)求f(h)的表达式，并写出h的取值范围；(2)求三个圆柱体积之和V的最大值．612．(2012·无锡期末)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx在x＝1处的切线方程

4、为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝a·ex(a，b，c∈R)．(1)求b，c的值；(2)若存在x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的范围．13．已知函数f(x)＝mx2－x＋lnx.(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(3)当m＞0时，若曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值．14．(2012·江苏)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值

5、或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．6专题6　导数及其应用参考答案：1．解析　由导数的几何意义可知，f′(x0)＝(x0－3)(x0＋1)2≤0，解得x0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3]．答案　(－∞，3]2．解析　由条件y′＝－4x2＋b，

6、∴Δ＝0＋16b＞0，得b＞0.答案　(－2，－1)3．解析　易知f(x)＝x4－2x2－5，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝±1，经计算只有f(0)＝－5.答案　04．解析　因为是三次函数，所以m≠0，又f′(x)＝3mx2－1≤0在R上恒成立，所以m＜0.答案　(－∞，0)5．解析　f′(x)＝1－2sinx，由f′(x)＝0得，x＝或，又f(0)＝2，f＝＋，f＝－，f(π)＝π－2，故所求最大值为＋.答案　＋6．解析　因为f′(x)＝－3x2－4mx＋1－2m，所以f′(0)＝1－2m，又f(0)＝3m－

7、2，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－(3m－2)＝(1－2m)x，即为m(2x－3)＋y－x＋2＝0，恒过⇒即P.答案　7．解析　因为y′＝x(x＋1)＋＝＋≥2＝，(当且仅当x＝时，“＝”成立)设点P(x，y)(x＞0)，则在点P处的切线的斜率k≥，所以tanθ≥，又θ∈[0，π)，故θ∈.答案　8．解析　因为函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，所以函数g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在[－1,0]上的最小值为－2，故f(x)

8、在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－.答案　－9．解析　因为函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，所以f(2)＝3，f′(2)＝2，则g(2)＝4＋f(2)＝7，g′(2)＝2×2＋f′(2)＝6，故函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即为y＝6x－5.答案　6x－5610．解析