材料力学卡式定理

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1、§9-2卡氏定理一、卡氏第一定理设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为。则梁内应变能而由卡氏第一定理卡氏第一定理卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上与某一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，——作用在杆件上的广义力；——与相应的广义位移。例4抗弯刚度为EI的悬臂梁如图，试按卡氏第一定理，根据自由端已知转角确定施加于自由端的力偶m。梁的材料在线弹性范围内工作。解：梁内任一点的线应变为(1)梁纯弯曲，挠曲线为圆弧(2)于是(1)式改写为(3)梁内任一点处的比能(4)梁的应变能由卡氏第一定理(5)(

2、6)二、卡氏第二定理设梁上有n个集中荷载作用，相应的最后位移分别为。则梁内余能而由(1)(2)(3)(4)卡氏第二定理将(2)、(3)代入(4),余能定理对线弹性杆件，故有卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一荷载之变化率，就等于与该荷载相应的位移。适用条件：适用一切受力状态下的弹性杆件，其中，——作用在杆件上的广义力；——与相应的广义位移。用卡氏定理的注意事项①U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能②Pi视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为Pi的函数③i为Pi作用点的沿Pi方向的变形。④当无与i对应的Pi时，先加一沿i方向的Pi，求偏导

3、后，再令其为零。dn三、线弹性变形杆的卡氏定理例5结构如图，用卡氏定理求A面的挠度和转角。③变形①求内力解：求挠度，建坐标系②将内力对PA求偏导ALPEIxO（向下）求转角A。①求内力没有与A向相对应的力（广义力），加之。“负号”说明A与所加广义力MA反向。②将内力对MA求偏导后，令MA=0③求变形（注意：MA=0）LxOAPM例5结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。解：求挠曲线——任意点的挠度w(x)①求内力②将内力对Px求偏导后，令Px=0没有与w(x)相对应的力，加之。PALxBPxCwxOx1③变形（注意：Px=0）例6等截面梁如图，用卡氏定理求B

4、点的挠度。②求内力解：1.依求多余反力，③将内力对RC求偏导①取静定基如图wxOPCAL0.5LBRCPCAL0.5LB卡氏定理解超静定结构④变形能量法求解超静定结构，适用任意荷载作用下、线性或非线性弹性杆系、刚架或曲杆等超静定系统。变形协调条件2.求②将内力对P求偏导①求内力③变形（向下）