12能量法_1应变能卡式定理互等定理

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1、第十二章能量法第一节引言主要目的：计算结构位移能量法：能量守恒原理卡式定理互等定理单位载荷法图乘法一、外力功的计算第二节外力功与应变能的计算1.常力的功2.变力的功若F与呈线性关系，则有二、弹性体的应变能完全弹性体因变形而储存的能量称为应变能，记作V三、弹性结构的能量守恒原理在外力作用下，弹性结构的应变能等于在其变形过程中外力所作的功，即四、应变能的计算1.轴向拉（压）杆若，则有四、应变能的计算2.扭转圆轴3.梁和刚架只考虑弯曲变形能4.组合变形杆[例1]试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为

2、EI，杆的抗拉刚度为EA。解：2）由截面法，得梁的弯矩方程为梁的应变能CB杆的应变能所以，整个结构的应变能1）CB杆的轴力[例2]在图示三角支架中，若两杆的抗拉（压）刚度均为EA，试计算结点B的竖直位移BV。解：2）计算应变能由截面法，得AB、CB两杆的轴力分别为三角支架上外力的功为三角支架的应变能3）计算BV根据能量守恒原理得结点B的竖直位移1）计算外力功一、卡氏定理第三节卡氏定理在线弹性范围内，结构的应变能对某一外力Fi的一阶偏导数等于Fi的作用点在Fi的方向上的位移i，即说明：Fi为广义力，

3、i为与之对应的广义位移（类型对应、位置对应、方向对应），Fi与i的乘积应具有功的量纲。二、卡式定理的实用算式1.梁和刚架2.桁架[例3]试用卡氏定理计算图示三角支架结点B的竖直位移ΔBV。解：求两杆轴力及其对F的一阶偏导数由卡氏定理得由于待求位移BV就是外力F的作用点沿作用方向的位移，因此，可直接运用卡氏定理计算。[例4]图示悬臂梁，试求自由端B截面的转角B。解：为此，首先在B截面处添加一个与转角B对应的外力偶Me再令Me=0，即得转角由卡氏定理，得在载荷q和Me的共同作用下，梁B截面的转角求

4、弯矩及其对Me的一阶偏导数由于在B截面处没有与转角B对应的外力偶作用，因此不能直接利用卡氏定理。[例5]图示平面刚架，若各段杆的抗弯刚度均为EI，试求其自由端C截面的竖直位移ΔCV与水平位移ΔCH。解：在替换力的符号后，BC段、AB段的弯矩方程及其偏导数分别为在这种情况下，可分别记竖直方向的力F为F1、水平方向的力F为F2，在符号上将两者区分开来。由卡氏定理，得C截面的竖直位移CVC截面的水平位移ΔCH令F1=F2=F，最终即得C截面的竖直位移C截面的水平位移[例6]如图，一小曲率圆弧形曲梁承受力偶

5、矩Me的作用，若其抗弯刚度矩EI为常量，试求自由端B截面的水平位移ΔBH。由于在曲梁上没有与ΔBH相对应的载荷，故首先需要在B截面添加一个水平力F解：由截面法得曲梁的弯矩方程弯矩方程对F的一阶偏导数令F=0，代入公式积分，即得B截面的水平位移一、功的互等定理第四节互等定理对于线弹性结构，第一组外力在第二组外力所引起的位移上所作的功等于第二组外力在第一组外力所引起的位移上所作的功，即二、位移互等定理对于线弹性结构，当F1与F2的数值相等时，F2引起的F1的作用点沿F1作用方向的位移就等于F1引起的F2的作

6、用点沿F2作用方向的位移，即解：[例7]如图，简支梁的抗弯刚度为EI，当在跨中C处作用有集有矩为Me的力偶时，截面C的挠度。。试计算在截面B处作用中力F时，横截面B的转角以集中力F作为第一组外力，以矩为Me的力偶作等定理有为第二组外力，根据功的互故得截面C的挠度[例8]如图，超静定梁AB受矩为Me的力偶作用，试利用功的互等定理求出活动铰支座B的约束力，已知梁的抗弯刚度为EI。将活动铰支座B视为多余约解：束，解除之，以相应的多余约束力FB代之作用，得到原超静定梁的相当系统，其中，截面B的挠度B1=0。为

7、了利用功的互等定理，设想在悬臂梁AB的自由端B作用一集中力F。在集中力F作用下，B截面的挠度、转角分别为以FB与Me作为第一组外力、F作为第二组外力，根据功的互等定理有解得活动铰支座B的约束力