一题多解背后的形式化思考.pdf

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1、第9期洪昌强，等i一题多解背后的形式化思考·15·一题多解背后的形式化思考●洪昌强陈淑丽(台州市第一中学浙江台州318000)解题是数学学习的重要活动之一．在解题教学(必修4)》(以下简称教科书)导引所言：学习始于中，教师经常给学生提供较多的解题方法，试图通疑问，学而不思则罔．笔者以2o13年浙江省数学高过一题多解，提高学生的解题能力，激发数学学习考理科第6题为例，谈谈对一题多解的一些思考．的兴趣．但往往事与愿违，教师的好意学生不但不题目已知ER，sin+2c。s：旦领情，反而常常听到一些学生的抱怨：“这么多种，贝Ⅱ方法，我都不知道该用哪一种

2、，方法越多反而解题tan2c~=()思路越混乱．”学生的抱怨值得反思：为什么教师A．÷B．寻c．一手D．一手提供多种解法反而造成茫然的感觉?在解题的教1探索不同的解法学中，是否仅仅是为了“多解”而“多解”?是否缺解法1原式2边平方，得乏必要的反思和系统化的过程?人教A版《数学IMF1I=C，IMF=I=．解得d=4或=一了4(舍去)，即ll=4．由椭圆的定义得评注该解法先利用“形”得到点M的坐标，IMF1I+IMF2I-c+=2a，再利用“数”求得IMFI．也可以先利用“数”设出点则e=旦=—，’=一1．M的坐标M(，)，再利用“形”得到lM

3、DI=a1+,／3,／5iFDI，即=一1)，亦即=3，从而求得，Ll’l=4．变式5抛物线=．．2py(p>0)的焦点为F，其准09o线与双曲线等一=1相交JJ／丑DA＼于点A，，若AABF为等边图7三角形，则P=一图5l奎I6(2013年江西省数学高考试题)解法5如图6，由抛物线y2=4x知F(1，0)，分析如图7，易知准线为y=一号，联立}一IKFI=p=2，过点M作MD上轴，垂足为D．设lMFI：d，则Y=I得3IFDI：IMFIc。s60。：1d，A(，一(_，一IMDI：IMFIsin60。：，由图7可知从而(1+1d，d)．因为

4、点在抛物线=4FDI=p，IBDI=~IFDI，上。所以即√3+=，=4(·+)，解得P=6．·l6·中学教研(数学)2014年3cos2ct+4sin2ct=0．解法7设OA=(COSO~，sina)，OB=(2，1)，设与0雪的夹角为0，则则tan2ot=一一OA．：。0：，解法2原式2边平方，得3tan一8tanot一3=0．从而=--2“-，解得tan：3或tanot：一，即=2后面±'iT一+(k∈Z)，其中tanq~=÷．下略．从而tan2a=一·解法8当Ol为锐角时，如图2，作RtAABD，解法3先移项，再2边平方，解得其中Z_

5、ABD=90。，AB=2，BD=1，再作／_BAE=，过点B作BC上AE，垂足为C，过点D作DE上AE，⋯=或cos=．垂足为E，过点D作DF上BC，垂足为F，则1、略．／_DBF=Ot，解法4原式化简为从而AE=AC+CE=AC+DF=sinot+2cosa=45cos(a一)，sincos：得=2

6、l}叮T±詈+(∈z)，在RtAADE中，因为AD=，所以LEAD=45。，即其中taIl：1．下略．=45。+，其中tan(p=÷．下略．解法5设=COSCt，Y=sinct，由2比较方法的异同解法1先将等式2边平方，然后通过二倍角公y=，式

7、，直接求出tan2ot．解法2、解法3、解法5分2步【2+y1，完成，先求出的三角函数值，再求tan2ot的值．其得tan=考：3或协n=詈=一÷j．中解法2、解法3仍以三角函数形式出现，利用了sin+cosot=1，sinot=tanotcoso~，而解法5将三角下略．函数转化为坐标(，Y)，然后通过+Y=1建立解法6对于解法5的方程组也可以从解析方程组，求出各未知元．根据三角函数定义可知，这几何角度去审视．3种解法只不过表面形式不同，其本质相同．解法如图1，设直线2：2+，，：与单位圆的交2、解法3虽然推理过程比较繁琐，但解法具有普适性，

8、对形如“若asina+bcosa=c，求tan2a”的问题点为A，B，AB的中点为D，则原点到直线l的距离都能适用．解法4直接应用asint~+bcosa=OD：T，即~／0+6cos(一)进行化简，解法6、解法7、解法8分别从解析几何、向量数量积、构造平面图形人／_AOx=2．i}耵±"IT+／DOx，_手．虽然这些解法的切人点不同，但都充分发挥了其中tanZ_DOx=1特殊角45。的作用，把条件中三角函数之间的关系．下略．三，．-转化为与45。角之间的关系．因此，无需先求tanot的值，可以直接求tan2ot的值．解法l表面上＼似乎与45

9、。没有多大关系，但从推理过程中不难发／现，等式各项中数据的特殊关系是在“暗”中发挥“重要作用，否则解法1也不会轻巧求出tan2ot的值．图1图2以上各种解法涉及到两