有心圆锥曲线与顶点的两个统一性质的推广.pdf

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1、2015年第6期福建中学数学9评析对于任意x1，我们知道函数fx()lnx结合等数学思想方法，以考查运算求解、推理论证2等能力为目的和中心进行命制的．以二次函数(x1)/2在闭区间[1，x]上连续，在开区间(1，x)内fx()2可导．由拉格朗日中值定理可知，存在一点(1，x)，xpxq的零点a，b及常数2为依托，构建等差使得f()=(()fxf(1))/(x1)．基于高等数学的观数列和等比数列，本题巧妙地将函数与数列、等差点，第（Ⅱ）问是求证对于任意x1，都存在(1，数列与等比数列结合起来．学生只有在明确二次函x)，满足f()0；第（Ⅲ

2、）问则是确定实数k的所数零点a，b与系数p，q之间的关系的基础上，利有可能取值，使得存在x1，对于(1，x)的任意子用数形结合进行探究，方能对a，b，2这三个数00区间(1，x)，可找到一点(1，x)，恒有f()=(()fx进行排序，使之成为等差数列与等比数列，进而利用数列的相关性质联立方程组求得a，b的值，从而f(1))/(x1)k．以高等数学中的拉格朗日中值定理解决该试题．常见知识点在本题中创新结合，学生为依托，以初等数学试题的形式为呈现，构建二者在“混”中理“清”，基础尤现．之间的桥梁．本题较为深刻地考查学生函数的单调6思考性、导数及其应用等基础知识，

3、考查学生推理论证基于上述分析，笔者提出以下两点思考：能力、运算求解能力、创新意识，考查学生函数与（1）数学试题并不是“无源之水，无本之木”，方程、化归与转化、分类与整合、有限与无限、数数学试题不仅仅能从数学研究中选取适当的素材；形结合等数学思想方法．或从比较高的观点出发，物色问题；也可以从社会5背景来源于命题立意现象、自然现象、生活现象等实践领域中寻找素材命题者基于自身的数学素养、文化底蕴、生活和问题．命题者需尽可能降低背景材料对考生的影阅历、试题编制理论与技术等，依据试题考查的目响，减少或消除试题的功能偏差，确保考试的公正的和中心，把握命题活动中产生的富有创造性的突公平．发

4、思维，可命制出背景“原创”的数学试题．2（2）立意与选材两者之间，往往交织在一起，例5（理8）若a，b是函数fx()xpxq有时是先立意，确定试题的编写意图，明确考察目（p0，q0）的两个不同的零点，且a，b，2的；有时则是先注意到一些好的题材，再琢磨利用这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序它进行编题可达到哪些考查目的，并作进一步的剪后成等比数列，则pq的值等于裁取舍．实际上，如何互相兼顾立意与选材，使考A．6B．7C．8D．9查目标趋于一致，这是命题人员和一线教师应直面评析本题是以考查函数的图象与性质、数列的的课题．定义与性质等基础知识，以考查函数与方

5、程、数形有心圆锥曲线与顶点的两个统一性质的推广谢星恩林世中福建省福州市长乐七中（350206）笔者通过研究文[1]，发现文[1]的性质还可以推证明如图1，易知Aa(，0)，Ba(，0)，yPMA广到更一般的情况，现介绍如下，与读者共同学习．设Mmy(，1)，Nmy(，2)．因为A，M，POBNx22图1xy三点共线，所以kk．即y/(ma)性质1已知点A，B是椭圆E:1(abAMAP122aby/(xa)，所以y(ma)[y/(xa)]．同理，001000)的左右顶点，点Px(，y)是椭圆E上异于A，B00kk，即y/(ma)y/(xa)，所

6、以y(mBNBP2002的任意一点，直线AP，BP分别与直线lx:m相交a)[y0/(x0a)]．所以，kAMkBNkAPkBP[y0/(x02于M，N，则（1）kAMkBNe1；（2）AMBNa)][y/(xa)]y2/(x2a2)b2(1x2/a2)/(x2000000222(ma)e．10福建中学数学2015年第6期2222222的任意一点，直线a)b/a(ac)/ae1．又AM(ma，AP，BP分别与直线ly:m相交2y1)，BN

7、(may，2)，所以AMBN(mama)()于M，N，则（1）kAMkBNe1；（2）AMBN2222222222yy12(ma)(ma)[y0/(x0a)](ma)22e．(mb)2222e21(1e1)(ma)e．推论3当m0时，即直线l为x轴，这时AM推论1当m0时，即直线l为y轴，这时AM2222BNc，即为文[1]的性质2．BNaec，即为文[1]的性质1．2双曲线也有类似的性质，即有