圆锥曲线顶点定值倾斜角等和子弦的性质

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1、第3l卷第lO期2012年】O月数学教学研究41圆锥曲线顶点定值倾斜角等和子弦的性质孙芸(江苏省海门中学226100)文[1]首先给出圆锥曲线顶点定值子弦3，。=2p(>o)或双曲线一一】(口，6>的含义：设点P是圆锥曲线的一个顶点，PA，PB是该曲线过顶点P的两条弦，当直o)时，a，J9显然均不为吾．当圆锥曲线是椭圆线PA，PB的斜率之积为定值时，称线段AB为该曲线顶点P的关于定值的斜率等+一1(n>6>o)时，若P是左、右顶点，积子弦；当直线PA，PB的斜率之和为定值时，称线段AB为该曲线顶点P的妥于定值a，J9也显然均不为号；若P是上、下顶点，此的斜率等和子弦；并把这

2、两个子弦统称为时如果a，卢中有一个为号，则另一个为0一顶点P关于定值的定值子弦．然后给出顶点定值子弦的性质：一般情况下，鲤罐曲线顶罢(常数)，那么A，B均为定点，直线AB为点定值予弦所在直线过某个定点．个别情况定直线，无研究意义．故以下讨论限定口，卢正下，圆锥曲线顶点定值子弦所在直线与它的一条对称轴平行或垂直．读后深受启发，并由切都存在，并记直线PA，PB斜率分别为k，k．kpAkj,~，]eVA+kpB及斜率定义联想到两角和下面分抛物线、椭圆和双曲线情形来研的正切公式，于是得到tan(a{一)一￡I￡究．(其中a，分别为直线PA，PB的1』仉2．1抛物线情形倾斜角)，一个

3、自然的问题是：当a+为定值设OA，OB为抛物线。=2px(p>O)过时，直线AB是否过某个定点或与它的一条顶点的两条弦，倾斜角分别为a，卢，且口+卢=：：对称轴平行或垂直呢?对这个问题的探究，(定值)，则0<<27c．我们发现了圆锥曲线顶点定值倾斜角等和子由IV=z’得A(、，K)；弦的性质，成文如下．．1顶点定值倾斜角等和子弦的含义设点P是圆锥曲线的一个顶点，PA，由{I、，===tzz得B{IK，K)．PB是该曲线过顶点P的两条弦，当直线将A，B坐标代入直线AB方程PA，PB的倾斜角的和为定值时，称线段(z一)(yz一)一(y一)(zB—z^)AB为该曲线顶点P的关于定

4、值的倾斜角一O。等和子弦，简称为“顶点定值倾斜角等和子整理得弦”．胜一(+)+2一O．(1)2顶点定值倾斜角等和子弦的性质1。若一7c，则是=-k，所以直线AB垂首先要说明的是，当圆锥曲线是抛物线直于z轴；42数学教学研究第31卷第10期2012年1O月2。若一罟或，则个顶点，PA，PB为椭圆的两条弦，倾斜角分别为a，J9，且a+一(定值)，O~O<2rc．kk=tanatanp=l，(I)当．P为椭圆的左顶点时，a，的正(1)即切都存在．z一(志+)+2户一O，由+22，得所以直线AB过定点(一2p，O)(此种情形是l一志(+口)文[1]结论的特殊情况，由文Eli也可得出

5、该结果)；A(，)；3。若号，≠7c且≠，令t=tan，由f薯+一1，得则由a+』9一得ly-=-k(+口)tnaa+tan卢一tan(1一tanatan，且Ⅱ是+k一￡(1——惫是)，B(，)．代入(1)整理得将A，B坐标代人直线AB方程(z+ty)kk-ty+2p=O，(x-xv)(YQ-YP)一(y-yp)(xQ-xv)令{一0。整理得f一一2，(n。愚忌——。)E(ak。+6)解得_{I一2一，(6一n。k。)口]一a2(是+是)E(a悫。+6。)y-2ab是]所以直线AB过定点(一2p，)．：==O．(2)由上面的探究可知，抛物线的顶点定值1。若一7c，则是=-k

6、，直线AB垂直于倾斜角等和子弦有如下性质：z轴；定理1已知抛物线j，=2px(p>O)和2。若戥_~37r，则定值0，则：1)当O=lr时，顶点的倾斜角等和子弦垂kk一tanmnp一1，k'-吉，直于轴；代人(2)式并整理成关于k的方程得：2)当一号或誓时，顶点的倾斜角等和ayk一[(n-b。)(口+口。)-t-2a。b]走。子弦所在直线过定点(-2p，0)；+(盘。b+ny)k。3)当吾，≠兀且誓时，顶点的倾一[(口。-b)(bZx-ab。)+2ab]+n。bzv一0，斜角等和子弦所在直线过定点(一2p，t)，f口—O，I(n～6。)(口。z+n。)+2a。b。一o，这里

7、t-tan0．令．《n。b。y-+-ay=0，2．2椭圆情形I(口一62)(bzx-ab2)+2a。b2=o，设P为椭圆+一1(口>6>o)的一nb。=O，第31卷第1O期2012年1O月数学教学研究43f一一一堡．鱼解得n一6’(o广)；【—o，3。若≠罟，≠兀且≠，则直线AB所以直线AB过定点(一_a(az~b2)，o)(此情过定点(一2a2b，一)．形是文[1]结论的特殊情况，由文E1]也可推出该结果)；(IV)当P为椭圆的下顶点时，根据椭圆的对称性，以一6代(HI)中结论中的b，易得3。若詈，≠7【且≠，令