有心圆锥曲线的“三大定理”.pdf

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1、2012年第4期数学教育研究·15·有心圆锥曲线的‘三大定理”张太树(上海市西南模范中学200237)定义：圆、椭圆、双曲线郡有对称中心，统称为有心①×②得y一一(一m)③圆锥曲线，它们统一的标准方程为：+一1．圆的很m又因点P在曲线c上，故鲁+一1，即z一一多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中，如圆的“垂径定理”的逆定理：圆的平分弦(不是直径)的直径旦(z2-1m)．m垂直于弦．类比推广到有心圆锥曲线：代入③并整理得一yZ一1此即为M的轨迹垂径定理：“已知直线z与有心曲线c：兰-+一1m方程交于A，B两点

2、，AB的中点为M，若直线AB和OM(o点评：由于C为椭圆为坐标原点)的斜率都存在，则是AB·志一一旦”．，Mm时，C为双曲线，反之也成证明：设A(x1，Y1)，B(z2，2)，M(xo，Y0)(1≠立，故成为对偶定理．2)定义：圆锥曲线上任意＼＼＼两点连成的线段称为弦．若Nf堕+一Ij”t’t圆锥曲线上的一条弦垂直于图2『生+鳗一1其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．相减得L±二二丑+上一。垂轴弦定理：已知点P(-zo，yo)、M(n，6)是有心曲线C：xZyZ一T1(>o)上不与顶点重合的任意两点，注意

3、到+z2—2z。，+z一2。有+MN是垂直于-z轴的一条垂轴弦，直线MP、NP分别!二：n交z轴于点E(zE，0)和点F(xF，O)，则：zE·F—m‘z1一X2)证明：因为MN是垂直于-z轴的一条垂轴弦，所YL⋯Yl-Yz_一旦．以N(口，一6)XO．7171——,7172m‘则MP：Y—n—Yo-b(z-．．AB．是Ⅲ一一旦a)令Y—O，则z一点评：当m：>0时，．·．kA8·fM一一旦：一1，V三0同理可得XF一0，n—Vn—fr即为圆的“垂径定理”．．n。v一bzz对偶定理：“已知有心曲线一■一·C：

4、+一1(m>O)的顶点为．‘M，P在曲线C：+一1上，A、A，与Y轴平行的直线z交双·+一1，兰至+一1．．曲线于点P、Q，则直线AP与图1·z一优一AQ交点M的轨迹方程为C：．·．·n一优一——，：一m一一yZ⋯一1：，，l舭⋯z一一0证明：如图1，设P点的坐标为(z，Y)，则Q点坐标为(z．一Y。)，又有A(一，0)，A(，0)，则(m一n)20一(m一)m(定值)一AP的方程为Y=—(z+)①‘Xl十√m．．z·z是与MN和点P位置无关的定值结语：以上三条性质对圆，椭圆，双曲线均成立，形AQ的方程为Y一

5、一—(z一)②式统一，结论完美，供读者参考．[责任编校钱骁勇]