圆锥曲线等角定理的证明.pdf

《圆锥曲线等角定理的证明.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、圆锥曲线等角定理的证明圆锥曲线等角定理的证明说明：2018年新课标1卷理科和文科的解析几何大题的出题背景都是圆锥曲线等角定理，有兴趣的同学可以用自行查看。我们证明以下椭圆和抛物线的等角定理。22xy椭圆的等角定理：过椭圆+=1(ab>>0)长轴上任意一点N（t,0）的一条弦端点与22ab2a对应点G(,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即ÐOGA=ÐOGB。t解析：(1)关键思路一：角度条件如何利用？解析几何中角度相等常用的定理有角平分线定理，余弦定理，斜率等。观察图像容易看出ÐOGA恰好为直线GA的倾角qA，ÐOG

2、B恰好为直线GB的倾角qB的补角。所以有：q=ÐOGA，qp=-ÐOGB，结合ÐOGA=ÐOGB。所以有q=-pq，即ABBAtanq=tan(p-qq)=-tan。直线倾角的正切即为直线斜率，所以kk=-，即BAAGAGBkk+=0。这里我们将角度问题转化为斜率问题，斜率更易于表达。GAGB(2)关键思路二：斜率求和计算及联立方程。yyABkkGA+=GB0，带入点坐标，可得：+=0。通分，可得：x--xxxAGBG2ayA(xB-xG)+yB(xxAG-=)0，其中xG为G点横坐标，即xG=。t做到这里，很多同学开

3、始设AB直线方程，联立方程，利用韦达定理带入证明。这里先不着1/5圆锥曲线等角定理的证明急代入直线，等式两边同除以yyAB，得到如下等式关系：(x--x)()xxBGAG+=0①。yyBA利用该等式关系进行化简，计算量更小。（大家可以自行计算上面那种方式，对比一下）。所以这里AB所在直线方程不妨设为：x=+myt，这里用y表示x，因为最后要消去x。所以有：xAA=+myt，xBB=+myt。带入①中可得：my+t-xmy+-tx11BGAG+=0，化简，得：2m+(tx-)(+=)0②。GyyyyBAAB11(3)关键

4、思路三：出现+，联想到韦达定理，需要联立直线和椭圆方程。yyABìx=+myt22ï22m122mttíxy，带入得：(+)yy++-=102222ï+=1abaa22îab22mtt-122aa根据韦达定理，得：yyAB+=-2，yyAB=2。带入②式中。m1m1++2222abab2mt22aayy+a2AB等式左边=2m+(t-)()=2mt+(--)()2tyyttAB-12a22t-a2mt=2m+()(-)=2mm-=20，命题得证。22tta-思考：为什么消去纵坐标计算量会变大，这里简化计算量的关键是什么

5、？直线方程为什么使用这样的表达式：x=+myt，这种反设的形式和一般的点斜式方程，做题时我们应该选择哪种形式？说明：一般的点斜式方程为y=-k()xt，这里将等式两边同除以斜率k，可以得到直线方y1程x=+t=+myt，其中m=。实际考试中到底使用哪种形式取决于我们联立方程要kk消去x还是消去y，本题中消去y计算更简单，所以使用第二种形式。此外，两种形式还有一个区别，y=-k()xt无法表示倾角为90度的直线，此时斜率不存在。而第二种形式可以表示倾角为90度的直线，此时m=0。但第二种直线方程形式无法表示2/5圆锥曲线

6、等角定理的证明倾角为0的直线。这里大家需要注意一下。说明：2018年新课标I卷理科题目就是以椭圆等角定理为背景出题的。相信同学们理解了上述内容后很容易就能证明出这道题来。2x2（2018年全国1理）设椭圆Cy：+=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两2点，点M的坐标为(20，)．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠∠OMA=OMB．双曲线的等角定理：过双曲线实轴所在直线上任意一点N（t,0）的一条弦端点与对应点G2a(,0)的连线所成角被焦点所在直线平分，即ÐOGA=ÐOGB

7、。t该定理的证明方式和椭圆的类似，感兴趣的同学可以参照上面的方法自行证明。3/5圆锥曲线等角定理的证明抛物线的等角定理：过抛物线对称轴上任意一点N(a,0)的一条弦端点AB与对应点G(-a,0)的连线所成角被对称轴平分。解析：(1)关键思路一：角度条件如何利用？解析几何中角度相等常用的定理有角平分线定理，余弦定理，斜率等。观察图像容易看出ÐOGA恰好为直线GA的倾角qA的补角，ÐOGB恰好为直线GB的倾角qB。所以有：q=ÐOGA，qp=-ÐOGB，结合ÐOGA=ÐOGB。所以有q=-pq，即ABBAtanq=tan(

8、p-qq)=-tan。直线倾角的正切即为直线斜率，所以kk=-，即BAAGAGBkk+=0。这里我们将角度问题转化为斜率问题，斜率更易于表达。GAGB(2)关键思路二：斜率求和计算及联立方程。yyABkkGA+=GB0，带入点坐标，可得：+=0。通分，可得：x--xxxAGBGy(x-x)+y(xx-=)0，其中x为G点横坐标，即