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1、第卷第期湖北三峡学院学报48!9=(川比变换>分部积分法中国图书分类号?∀9≅≅积分中值定理是联系函数及其积分的桥梁,是用积分研究函数性质的工具9积分第一中值定理9Β“∃Α菲赫金歌尔茨的《微积分学教程1对第一积分中值定理是这样叙述的设1Χ0Δ1与,<0Δ1在区间〔ΕΦ>≅
2、1Γ落Χ0Δ1‘Α>1<0Δ1在整个区间上不改变符号><0Δ118」上是可积的·,,·。0。在这些条件下有1<0·1。<0·1ΙΔ其中,、>、定理中的〔或ΒΑ’Δ1’Η卜ΙΔϑ丁Β,,,数拼在定理给出的条件下有如下三种可能情况Β1日泞任〔Ε产二Χ0引>≅14右Λ3ΕΦΚ使产笋>1日泞任0Ε,Φ1使拌二Χ0勃9显然情形1是我们最愿意得到的结果,这不仅是ΦΚΧ0村,9由于“”“”在很多应用中要用到这个内字而且也使中值二字更为确切,,,,,,ΔΕΦ函数<ΔΕΕ定理若函数Χ01在闭区间3」上连续01在〔司上可积且不变号则在3,·Φ·>·二
3、>·“上至少存在一点Β使>101Μ,0Β101ΜΗΗΒ这是大部分数学分析教材对积分第一中值定理的叙述9也有一部分教材将积分第一中值定理叙述为下面的形式9,,,,,≅若函数Χ0ΔΕΦ<Δ1在〔ΕΦ则在0ΕΦ1内至少存定理1在3」上连续0」上可积且不变号,在一点。使得·1>0·1ΙΔϑΧ0。1<0·1ΙΔΧ0ΗΗΒ显然,定理的,而所提条件是完全相同的9要注意的是,资可在≅的结论强于定理结论开区间0Ε,,这一点并非显然,是应予论证的9下面我们给出定理Φ1内取得的≅的一个简洁证明9=,,,9ΧΔ1在〔ΕΦ故它在〔ΕΓΑ又由于<Δ证明因0」
4、上连续ΦΚ上取到最小值与最大值01Ε,,ΦΔ在〔」上可积且不变号不妨设<01〕8,,‘,若<0·1ΙΔ二。贝。可在0·Φ1内任取一点>使Χ0·1>0·1ΜϑΧ0Β1。0·1Μ成立ΗΒΗΒΗΒ,若>0·,“·”则Γ<‘·,、、1>0·1<0·1、丁丁Β丁卜ΙΔ’袱湖北三峡学院学报第卷·<二Χ0101、丁Β鉴ΑΓ蕊工Β<0二1Μ若,上式没有一个等号成立则有<·,‘’么丁卜Ν吞一,“’ΝΑΓ「9∃Ο‘ΠΕΔ,,,ΔΔ,Δ!ϑΔ≅ϑΔΒΝ设Χ01分别在与Δ≅取得最小值与最大值即Χ01ΓΧ01Α不妨设Δ≅·<·Χ‘,0’ΙΔ,,,9,丁
5、ΒΔ!ΔΘΛΕΦ,产ϑ,则3〕3Κ由01可知数·介于Γ与Α之间由连续函数,0’ΙΔΗΒ,Δ>,ΔΘϑ,介值定理可知存在分任01使Χ0引产即丁Β,0·,>0·’“ϑ,0,1丁Β。0·1Μ,,,9Ε显然母任0Φ1故结论成立,,,不若01中至少有一个等号成立妨设右边的等号成立则有Α一·>·二%〔Χ0,〕0’ΙΔ丁Β,,,,,由于<0Δ1在〔ΕΦ故它在〔ΕΦΡ;Δ下和Β0.>1二Γ‘〕上可积Κ上的咖习声,。时,·Γ‘ϑ·,趋01ΙΔ’“当Σ一即!ΥΓ声袱川Σ一习客加<·。‘前01,,,,ϑ配袱如?故存在分划.只要ΣΣ.Σ充分小就有0.<
6、1全声,,,,,,Β二。‘Τ%由于<0Δ118故Γ〕?0Υ二≅1从而艺Γ禽中至少有一项大于零不妨ΔΥΤ‘Τ,ΥΤ,ΔΥ=ς,ΔΒΔ‘,ΔΕ设Γ户?由于山8所以Γ8而在〔〕上<01〕Γ又Χ01蕊Α0鉴,Δ感Φ1故8‘一·Γ‘Β一·>·、Β、,01〕、、。、Χ01Β01、ΗΗΗΗ、Α一·‘·〔Χ0,」0’“二ΗΒ%,!一‘‘二〔ΑΧ0’〕爪“,一Δ。‘Δ>=>,ΔΒ因此Η之?其中被积函数〔ΑΧ01」在〔」上非负且连续,故必有ΩΔΥ二,二>二二Β,Δ‘=,,ΔΒ‘,〔ΑΧ0恤1〕Γ击8卜感蕊而在〔」上ΓΤ8故必有ΔΔΔ‘,ΔΒ=!,ΔΒ二
7、,Χ01二Α劣Υ=!蕊鉴1因此对1内任意一点之>都有Χ0母1Α从而·<·二<·‘·“,,0101Μ,0Β10,“0二ΗΒΗΒ,Β这里特别指出以下两点Β第期杜廷松关于积分中值定理的证明,,<ΔΛ可积则就ς积分而言0!1若将函数01的可积性假设理解为玩玩卿定理也是成立,,·的这只要注意到‘0·二Β1<‘ΙΒ是〔一Φ“上的绝对连续函数100,便不难理解这一点ΗΒ,,<Δ1的可积性假设改为在【ΕΦ。ΔΛ!ΨΖΛΞ可积并增0≅1若将函数0」上对于单调函数01是ΞΨΥ,,,ΕΞ设Ε0Δ1在Φ两点连续则就积分而言定理结论仍成立即有,,0·1>0·
8、1、0·1ϑ,0·,<‘·,‘0·,0·‘,ΗΒ丁Β⋯积分第二中值定理,,,,,ΕΦΧΔ而<ΔΕΦ定理Ξ设在3」上01单调递减非负01可积则日宁任3」使=二了ϑ、、,、二,,、泞,、Χ二Ε。冗几ΔΖ邵ΔΖ“几勺邵别“,证明因Χ0Δ1递
