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1、年第期桂林冶金地质学院学报关于积分中值定理的陈述和证明基础部张秋光肖济民提婆为简明计,许多教材在陈,,〕述积分中值定理时总是认为七在积分区间〔,,,。上其实之完全可以在内找到本文给出了后一陈述的一种严格证明、一引言〔’〕,国内高等院校编写的高等数学试用教材中有的是这样叙述积分中值定理的二二,〕,二,,若及在〔连续且在〔〕不变号则,,在闭区间〔幻上至少存在一点七使得工‘,‘二,二‘丁屯男劣。,此定理有着广泛的实际应用例如将改写作劣劣苦八万一了动一甘二二二,,。可以把了七理解为函数了在〔〕区间的加权平均值其权函数为二〔〕,,〕的一,二
2、二,特别研究位于〔段物质线取代表点的横座标表示线密,二度则七邑代表物质线的质心的横座标浑戈七。“‘““,。,此外也经常用积分中值定理进行近似积分例如物探工作中将水平线上的二度异常幻、向上延拓以计算原点正上方高度为处的异常所用的公式上半平面问题的解为。本文年元月收到桂林冶金地质学院学报,、,、」,「。乙卜气少乙气满少一二一一云石“满气一—兀一十’,通常就是分段用积分中值定理来计算这一积分值的。‘’二一、卜艺”。,令二一‘石劣‘十打一劣““,“,令粤⋯““王,‘“,‘“令万⋯竿一车,二,、。,,其中七〔〔气〕由于并不知道息的确切位置当
3、各区间的长度足够小时可以在各,。。区间任取一点以近似地算出积分值〔〕类似的例子是很多的,,,固然积分中值定理的提法在教学上是可取的因为论证起来比较简明便于初,,,。学者接受但缺点是容易给人们一种错觉似乎有时邑只有取值或式方能成立,,,其实在提法所叙述的条件下完全可以在开区间内找到使公式成立。,咭的点七所以也有些教材〔〕将积分中值定理叙述为若二及二,〕连续,二,〕不八在〔且在〔变号,,使则至少可以找到一点七〔得‘‘,,二‘,“丁二劣,〔〕陈述中的条件还可以进一步减弱一种较陈述进一步的提法是,,夕,,若八在〔〕连续二在〔〕可积且不变号
4、以找到一点七〔口,,则至少可使得。,。““’“二一‘七’。“’‘,班’”“,一〔“〕鉴于在积分中值定理的许多应用中往往严格要求乙而笔者迄今所接触到的一,,,,般教材中尚未见到陈述和的严格证明因此作为教学参考本文将首先提,。供陈述的一种证明方法相信工科一年级的学生并不难接受至于陈述的证,。,,明则需要用到有关实变函数论的某些知识自然作为引玉之砖笔者希望有更简易的严。格证法二、陈述的证明,,任,〕。,。为确定起见不妨设》当簇时证法是类似的二,〕连续,杭,劣任由于在〔故在此区间上可取到最小值和最大值对于一切〔,〕,有簇簇,从而劣夕劣年第
5、期关于积分中值定理的陈述和证明,,二二丫,〕由于连续函数必定可积可积函数的乘积仍可积故及均在〔,可积据定积分的性质进一步有户。二、、,二。二‘二、戈戈仇丁‘户。」毯。二‘。当夕,二二二,考虑到二非负故夕时据有,,,,。二夕二二二显然对于内任一点七我们只需了陈述恒成立戈,探讨当时陈述是否成立二,用遍除式记,夕二戈二劣二有。二《《分两种情况讨论。。们劣,,,,,因了在〔幻连续—据连续函数的介值定理可知必定至少有一点七〔,。使得了七陈述成立。二或,,,二。,二,,当时也必定至少有一点七〔使得劫否则对一切〔。二二皆有了又因劣劣,男。,,故
6、至少存在一点任〔〕使得气,否贝。劣。戈,〕的连续性,据在区间〔可推知必存在区间,,,,。对干一切任皆有戈劣二夕二,劣〔,戈二。二,劣〔。,,〔〕或〔〕积分得,“‘‘,‘,梦,仁桂林冶金地质学院学报,,,,。二二男》,劣八,相加有,“‘,““一“以。这与原假设矛盾。‘故陈述当时成立,,,。完全相仿可以证明当时陈述亦成立证毕三、陈述的证明,。,先给出零集的定义设为直线上一点集如果对任意的存在一列开区间幻,,,,,一。,。入林兀⋯⋯使得二艺且艺卜软则称为零集一笼一,。在实变函数论中已经证明在区间〔〕上的可积函数的不连续点的集合是零集〔〕
7、,。具备了上述预备知识后现在来证明陈述其证明方法基本上与陈述的证,法相同只是在讨论二且。或的情形时,记可积函数劣,,,,。,在〔的上的不连续点的集合为尸如上所述为零集即任给则有一组开区间二,,,,,一。。,入林尤⋯⋯使得芝且芝林入令丑〔一一,。,二〕一贝。二在上连续但。二在上不恒为零否贝。有。二‘。。二。,又因可积函数幻有界且协一认、。从而【于是「戈劣艺十。二。二一。,这与,,「义二【矛盾因此在上至少有一丑,。。,,,点气使得夕二由于夕劣在上连续故存在使得,。沁、,。对一切劣任恒有二证明的其部分与陈述雷同不赘述,考文献与资料,,。
8、,〔〕西安交通大学高等数学教研室编高等数学上册第二分册。人民教育出版社·,,,。,〔〕柯朗约翰著微积分和数学分析引论第一卷第一分册一科学出版社,,。,。〔〕张狄光主编《数学》第二卷微积分上册第四章第六段地质出版社,,,。〔〕人只辛钦著数学分析简明教
