关于积分型柯西中值定理“中值 ”的探讨

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1、关于积分型柯西中值定理“中值”的探讨施燕01211179（徐州师范大学数学系徐州221116）摘要本文巧妙地利用构造函数、消元、分类讨论的思想方法，将已有积分型Cauchy中值定理“中值”的取值范围加强到开区间.同时，在适当的条件下，利用泰勒定理及函数的连续性，讨论了当时积分型Cauchy中值定理“中值”的渐近性，给出了的较为一般性的结论.关键词积分型Cauchy中值定理；介值性定理；连续性；泰勒定理1引言中值定理（微分中值定理，积分中值定理）是数学分析中最基本而且最重要的定理之一，鉴于它们在理论上和应用上的重要作用，因此，对中值定理的研究无疑是一件非常有意义的工作.在

2、这一领域，已有许多学者得到了很好的结果（见文献[1]，文献[4]，文献[7]），文献[1]证明了“中值”属于闭区间时的积分型Cauchy中值定理，本文在此基础上，证明了“中值”属于开区间时的积分型Cauchy中值定理，并给出了一系列有用的推论.此外，本文还讨论了当时“中值”的渐近性，给出当两个函数高阶导数的阶不一致时“中值”的渐近性的结论，这一结论为我们处理许多问题提供了方便.2主要结果及其证明积分型Cauchy中值定理“中值”的取值范围的讨论.定理1（积分型Cauchy中值定理）设函数在闭区间连续，且保号（恒大于0或恒小于0），则在上至少存在一点，使得=.引理1设函数

3、在闭区间上连续，对任意,有且则以下结论成立：12若，则有；若，则有.证明构造函数.由条件知在上连续，且，则一定存在点使得.根据连续函数的保号性，存在正数及点的某邻域其中，使得对任意的，有.由，有，所以=++=，即，从而.同理可证，当时，.引理2若函数在闭区间上连续，且在上取得最大值和最小值，，则对于和之间的任意一个数，在开区间内至少存在一点，使得.证明设，且.考虑函数在以为端点的闭区间，由介值性定理知，存在12，使，即，.定理2设函数在闭区间连续，且保号（恒大于0或恒小于0），则至少存在一点，使得.证明令，则在上连续，故在上取得最大值和最小值，于是，有，即.若在上恒为常

4、数，则开区间内任一点均可作为，定理显然成立.若在上不恒为常数，那么.设，由引理1，有，，将不等式两边同除以，有，由引理2知，在开区间内至少存在一点，使得.设，由引理1，有，12，将不等式两边同除以，有，同上可证得结论成立.定理2中，在式中令，有推论1若函数在闭区间连续，则在开区间上至少存在一点，使得.定理2中，在式中令，有推论2若函数在闭区间连续，函数在上可积且不变号，则在开区间上至少存在一点，使得.当区间的端点时，积分型Cauchy中值定理“中值”的渐近性的讨论.定理3设函数满足在上连续，在可导，且导数在点右连续；；，则积分型Cauchy中值定理中值满足.定理4设函数

5、满足在有直到二阶导数，且二阶导数在点右连续；；12，且，则积分型Cauchy中值定理中值满足.证明设分别为的原函数，则有，.由条件及泰勒定理知，可在点泰勒展开，从而有，，因为，所以，，，，，其中显然满足积分型Cauchy中值定理的条件，于是将式代入式中，有12，化简，得，当时，，且.从而对式两边取极限可得，即.定理5设函数满足在上有直到阶导数，且阶导数在点右连续；；，且，则积分型Cauchy中值定理中值满足.证明设分别为的原函数，则有，.由条件及泰勒定理知，可在点泰勒展开，从而有12因为，所以，，其中显然满足积分型Cauchy中值定理的条件，于是将式代入式中，有，化简，

6、得12，当时，，且.从而对式两边取极限可得，即.显然，当分别取1，2时，定理5就是定理3和定理4.由此可见，定理3和定理4是定理5的特例.观察定理5中的条件，可以发现两函数的高阶导数的阶是一致的，很自然的提出以下问题：若两函数的高阶导数的阶不一致，那么结论又将怎样？在这里适当加强条件，给出更一般的的结论.定理6设函数满足在上有直到阶导数，且在点右连续，；在上有直到阶导数，且在点右连续，；，则积分型Cauchy中值定理中值满足.证明设分别为的原函数，则有，.由条件及泰勒定理知，可在点泰勒展开，又12，，从而有，，，，，，，，其中满足积分型Cauchy中值定理的条件，于是将

7、式代入式中，有，化简，得，当时，，从而对式两边取极限可得，即12.3应用举例例1设函数在上连续，，证明至少存在一点使得.证明因为所以令则在上连续，由推论1知，在开区间内至少存在一点，使得，即.例2函数在上连续，函数在上连续，试证对于任一，存在，使得成立，且.证明因为在上连续，且恒大于，由定理2知，至少存在一点，使得，整理，得.12由条件知函数在上二阶连续可导，则有，；，；,；,,且对，故由定理4可得.参考文献阴东升，丛翠英.牛顿—莱布尼茨公式的应用[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），1995，21（1）：79--82.[2]华东师范大