《柯西中值定理》PPT课件(I)

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1、§2柯西中值定理和不定式极限一、柯西中值定理柯西中值定理是比拉格朗日定理更一定式极限的问题.般的中值定理，本节用它来解决求不二、不定式极限返回定理6.5(柯西中值定理)设函数,在区间上满足:(i)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;(iii)(iv)则在开区间内必定(至少)存在一点,使得一、柯西中值定理(ii)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;几何意义首先将f,g这两个函数视为以x为参数的方程它在O-uv平面上表示一段曲线.由拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦AB的斜率(见下图):的几何意义

2、,存在一点(对应于参数)的导数证作辅助函数显然,满足罗尔定理的条件,所以存在点使得,即从而例1设函数f在区间[a,b](a>0)上连续,在(a,b)证设,显然f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西中值定理的条件,于是存在,使得变形后即得所需的等式.上可导,则存在,使得在极限的四则运算中,往往遇到分子,分母均为无二、不定式极限究这类极限,这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生.我们将这类极限统穷小量(无穷大量)的表达式.这种表达式的极限定理6.6则

3、证注根据归结原理结论同样成立.例１解例2解存在性.这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些.例3解法则.但若作适当变换,在计算上会显得更简洁些.例4解定理6.7则证从而有另一方面，上式的右边的第一个因子有界;第二个因子对固定这就证明了的x有注件要作相应的改变.例5解例6解例7解(3)式不成立.这就说明:我们再举一例:例8解因为所以A=1.若错误使用洛必达法则：这就产生了错误的结果.这说明:在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是3.其他类型的不定式极限解但若采用不同

4、的转化方式:很明显,这样下去将越来越复杂,难以求出结果.例9解由于因此例10解例11所以，原式=e0=1.例12解例13解例14证先设A>0.因为根据洛必达法则，有同样可证A<0的情形.所以由本章第１节例４，得定理6.7中的条件是可以去掉的,为什么？由上面的讨论，得到复习思考题