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1、§2 柯西中值定理和不等式极限一 柯西中值定理定理(6.5)设、满足(i) 在区间上连续，(ii)在内可导(iii) 不同时为零;(iv) 则至少存在一点 使得 柯西中值定理的几何意义 曲线由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线，则上存在一点P处的切线平行于割线.。 注意曲线AB在点处的切线的斜率为， 而弦 的斜率为. 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证满足罗尔定理的条件且根据罗尔定理，至少有一点
2、 使得 ，即由此得注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则. 这恰恰是罗尔定理.注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，.三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设在（a，b）可导，且在[a，b]上严格递增，若，则对一切有。证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以＜，从而＜注意到，移项即
3、得＜，2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式进行思考解题：例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得证：上式左端作辅助函数则上式= ，=，其中3、作为函数的变形要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （介于与之间）此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。例3 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得≤在上成立，试证证明：在[0，]上连续，故存在]使得==M于是 M=≤A≤≤。故M=0，在[0，]上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（i=1,2,…）上恒有=0,所以=0,。 利用柯
4、西中值定理研究函数的某些特性1. 证明中值点的存在性: 例1 设函数在区间 上连续, 在 内可导, 则,使得.证 在Cauchy中值定理中取.例2 设函数在区间 上连续,在 内可导,且有.试证明: .2. 证明恒等式: 例3 证明:对, 有.例4 设函数和可导且又 则.证明.例5 设对, 有, 其中是正常数.则函数是常值函数. (证明 ). 3. 证明不等式: 例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对，有.4. 证明方程根的存在性: 证明方程 在 内有实根.例8 证明方程 在 内有实根. 四、小结本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点
5、是用辅助函数解决问题的方法。1° 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。2° 构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。 二 不定式的极限一. 型:定理6.6 (Ho
6、spital法则) 若函数和满足：(i) (ii) 在点的某空心邻域内而这可导，且；(iii) 可为实数，也可为）则 (证) 注意:若将定理中的x换成，只要相应地求证条件(ii)中的邻域，也可以得到同样的结论。例1 例2 .例3 . (作代换 或利用等价无穷小代换直接计算.)例4 . (Hospital法则失效的例) 二. 型不定式极限:定理6.7 (Hospital法则) 若函数和满足：(i) (ii) 在点 的某右邻域内二这可导，且；(iii) 可为实数，也可为）则 例5 .例6 . 註: 关于 当 时的阶.x=5:0.1:50;y1=log(
7、x); y2=x.^(1/2);plot(x,y1,'b',x,y2,'m') 右图看出 高于 clf,x=1:0.1:5;y1=exp(x);y2=x.^2;plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘) 右图看出 高于 注意1 不存在，并不能说明 不存在（为什么？）注意2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其
