柯西中值定理.doc

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1、§2 柯西中值定理和不等式极限一 柯西中值定理定理(6.5>设、满足(i> 在区间上连续，(ii>在内可导(iii> 不同时为零。(iv> 则至少存在一点 使得                             柯西中值定理的几何意义 曲线由参数方程    给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线，则上存在一点P处的切线平行于割线.。  注意曲线AB在点处的切线的斜率为13/13，  而弦 的斜率为.    受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于，  类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数                

2、     容易验证满足罗尔定理的条件且根据罗尔定理，至少有一点   使得 ，即13/13由此得注2：在柯西中值定理中，取，则公式<3）可写成这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则. 这恰恰是罗尔定理.注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，.三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题：   例1：设在

3、x，记C<），作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以13/13＜，从而＜注意到，移项即得＜，2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式进行思考解题：例2：设上连续，在

4、数A＞0，使得≤在上成立，试证证明：在[0，]上连续，故存在]使得==M于是  M=≤A≤≤。故M=0，在[0，]上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]

5、是常值函数.     (证明 >. 3. 证明不等式: 13/13例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对，有.4.  证明方程根的存在性: 证明方程 在 内有实根.例8 证明方程 在 内有实根. 四、小结本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。1° 拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。2° 构造辅助

6、函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数13/13学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。 二  不定式的极限一.  型:定理6.6 (Hospital法则> 若函数和满足：(i>  (ii>  在点的某空心邻域内而这可导，且；(iii> 可为实数，也可为）则  (证>    注意:若将定理中的x换成，只要相应地求证条件(ii>中的邻域，

7、也可以得到同样的结论。例1  例2 .13/13例3 .  (作代换 或利用等价无穷小代换直接计算.>例4 .  (Hospital法则失效的例> 二.   型不定式极限:定理6.7 (Hospital法则> 若函数和满足：(i>  (ii>  在点 的某右邻域内二这可导，且；(iii> 可为实数，也可为）则    例5   .例6  . 註:  关于 当 时的阶.x=5:0.1:50。y1=log(x>。 y2=x.^(1/2>。13/13plot(x,y1,'b',x,y2,'m'>         右图看出   高于 clf,x

8、=1:0.1:5。y1=exp(x>。y2=x.^2。plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘> 右图看出   高于 13/13                   13/13       注意1    不存在，并不