二三重积分中值定理的证明与应用

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1、《数学分析》自主研究课题：二，三重积分中值定理的娅明和应用摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理一、引言在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理《一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用.二、积分第一中值定理（一重积分中值定理）（

2、积、分第一中值定理）若/在［a，b］上连续，则至少存在一点eE［a，b］，使得=/（£*）（/?-67）.和（推广形式的积分第一中值定理）若/和g都在［a，b］上连续，且g（x）在［a，b］上不变号，则至少存在一A£*e［a,b］，使得bf(x)g(x)dx=g(x)dxJaJa(明显当g(X)El时，即为积分第一中值定理)三、推导二、三重积分中值定理及证明由积分第一中值定理我们类似的推导出二重积分中值定理：若/(ajO在有界闭区域D上连续，则存在(£*，//)eZ)，使得这里SD是区域D的面积.证明：由于/(A

3、30在有界闭区域D上连续，SD为这个区域的面积.存在最大值M和最小值m，得(%,y)eD,使用积分不等式性质得mSD^JJ/(^y)d(j^MSd,D即—JJ/U,y)d(r^M.SDd再由连续函数的介值性，至少存在一点(f，//)e£)，使即y)d(7=/(£•，")〜D由此定理得证.那对于二重积分是否也存在推广形式的二重积分中值定理：若/U，)0在有界闭区域D上连续，在D上可积且不变号，则存在一点D，使得J/(又,}0《(又，y)d(7=/(^,77)JJg(x,y)d(TDD显然定理是存在的，下面我们就来证明

4、一下证明：由于/O，y)在有界闭区域D上连续，所以/(x，y)在D上存在最大值M和最小值m，有(x，y)eD，又豕(x，y)在D上不变号，当豸(x，：y)X)时，有mg(x,y)/(x,y)•g(x,y),(%,y)eD.由二重积分的比较性质，可得m\s^f、x,y)d(7y)d(jDDD当yW=o时，由上式知y)g(^y)d(7=o这时对任意的(£•，//)e£＞，都可使JJf(x,y)g(x,y)da=/(£,")JJg(x,y)da成立.DD当j^(xJ)6^〉0时，由上式得DJJ/Cr，y)g(x,y)d

5、(7，由闭区域连续函数的介值定理D知，至少存在一点(f，7?)eZ)，使JJ/(^y)g(x,y)d(7/(£，")J)JJg(x,y)d(J，DJJ/tey)g(^y)d(7=/(£-,77)JJg(^,y}d(j同理可证当＜?Cx，y)〈O时,JJf(x,y)g(x,y)d(J=/(£，")JJg(x,y}do也成立DD由此，定理得证.特别的，当=l时，即为二重积分中值定理.三重积分中值定理：若/Cx，y，z)在三维空间可求体积的有界闭区域V上连续，则存在(f，77,OeV，使得又z)dV=f(e，7j乂)V、

6、，，v这里K是积分区域V的体积.证明：由于AW,z)在三维空间可求体积的有界闭区域V上连续，K为这个区域的体积.存在最大值M和最小值m，有f(x,y,z)(x,y,z)eV.使用积分不等式性质得mJJJ/U，y，z)dvV即y,z)dV^M.再由连续函数的介值性，至少存在一点V使/（£，"，0=+川7（Ay，zW，V即JjJ7（x，;v，z）6/V=/（£*，7,（）Vv.V由此定理得证.同样的，对于三重积分中值定理，也有推广形式的三重积分中值定理，这里不详细证明了.、三重积分中值定理的应用1.设/（x，y）（/O

7、w））有界闭区域D（V）上的连续函数AZXAV）是包含定点Po（Xo,yo）（Po（Xo,3；o，Zo））的D（v）的有界闭子域，由积分中值定理得，存在（£*，Z7）eDV），使ADz)dV=f)VAv)△V其中显然（£，z/）eA£>（AV），是区域D（V）的面积（体积）.当AD（AV）的区域d趋于零，便有y^==/(%。，y0)•（lim^-JJ/（x^^w=iim/（£,/7,0=/（%0,y0，Zo））d->0^AVAV这个极限过程与证明变上限定积分对上限求导的极限过程是类似的，所以上式的极限为重积分在点P

8、o（Xo，K）=｛（x,.v）l

9、x

10、+

11、y

12、<10｝上连续，则由中值定理doIJ100+cos2x+cos2y100+cos