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1、微分中值定理的证明与应用B09030124孙吉斌一中值定理及证明：1.极值的概念和可微极值点的必要条件:定理(Fermat)设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有罗尔中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间[a，b]上连续；（ii）在开区间（a，b）内可导；（iii），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得（ξ）=0。证明：因为在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M=m,则在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m＜M，则因(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点
2、ξ处取得，从而ξ是的极值点，由条件(ii)在点ξ处可导，故由费马定理推知=0.注1：罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立。例如：易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)≠F（2）,即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点ξ,满足注3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：在[-1，1]上满足罗尔定理的条件，显然在（-1，1）内存在无限多个
3、=使得=0。2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数ƒ满足如下条件：i)ƒ在闭区间[]上连续；ii）ƒ在开区间()内可导；则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得证明此定理要构造辅助函数，使得满足罗尔定理的条件（i）-(iii)且，从而推得证明：作辅助函数显然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点ξ(a，b)，使得即注1°罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线与直线AB,之差，事实上，这
4、个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新х轴（F（a）=F（b））。注3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出ƒ在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在（a，b）可导
5、且在a右连续在b左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。3、拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1函数在区间I上可导且为I上的常值函数.证明：任取两点（设），在区间[]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ（）I，使得推论2函数和在区间I上可导且推论3（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U°（）内可导，且极限存在，则在点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1）任取，在[]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在ξ，使得由于＜ξ＜，因此当时随之有ξ→，对上式两边取极限，使得（2）同理可得因为=存在，所以==，从而即注1°由推论3可知：在区
6、间I上的导函数在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。推论4(导函数的介值性)若函数在闭区间上可导,且(证)二应用举例:1可微函数单调性判别法：1.1一阶函数与单调性的关系：(1)设函数在区间内可导.则在内↗(或↘)在内(或).证))证.(2)设函数在区间内可导.则在内↗↗(或↘↘)ⅰ>对有(或;ⅱ>在内任子区间上2可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少.2.1可微极值点的必要条件:Fermat定理函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点,可疑点的求法.2.2极值点的充
7、分条件:对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.(充分条件Ⅰ)设函数在点连续,在邻域和内可导.则ⅰ>在内在内时,为的一个极小值点;ⅱ>在内在内时,为的一个极大值点;ⅲ>若在上述两个区间内同号,则不是极值点.(充分条件Ⅱ)设点为函数的驻点且存在.则ⅰ>当时,为的一个极大值点;ⅱ>当时,为的一个极小值点.证法一当时,在点的某空心邻域内与异号,……证法二用Taylor公式展开到二阶,带Peano型余项.(充分条件Ⅲ)设,而.则ⅰ>为奇数时,不是极值点;ⅱ>为偶数时,是极值点.且对应极小;对应极大.
