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1、微分中值定理的证明、推广以及应用【摘要】微分中值定理在高等数学中占有非常重要的地位，微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理，以及柯西中值定理。本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而
2、加深对两个定理的理解。【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理证明推广应用1引言在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定理之一.它不仅沟通了函数与其导数的关系,也是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具之一.罗尔中值定理条件最强,因而结论更加特殊,拉格朗日中值定理可以看成罗尔中值定理的推广.本文将罗尔中值定理由区间推广到了区间(a,b),由推广到了区间（-∞，+∞），由f（a）=f（b）推广到(有限或±∞).而将拉格朗日中值定理中的可微条件适当放宽,使其具有更加广泛的意义
3、.2罗尔定理若函数f满足如下条件：f在闭区间［a，b］上连续,f在开区间（a，b）内可导,f（a）=f（b）则在（a，b）内至少存在一点c,使得f、（c）=0.2.1罗尔定理的推广定理1：设(a,b)为有限或无穷区间f(x)在(a,b)内可微且（有限或）±∞,则c∈,使得f、（c）=0.证明：先证a为有限数的情形,若使f（x）=a,则f、（x）=0,所证显然成立.若f（x）=a不成立,则存在x0∈（a，b）,使得f（x0）≠a,设f(x0)＞a（对f(x0)＜a同理可证）,由于=a,因函数f(x)在(a,b)内连续
4、,对于任意取定的实数μ(a＜μ＜f(x)）,x1∈(a,x0),x2(x0,b),使得f（x1）=f（x2）=μ,在闭区间［x1,x2］上用罗尔定理,可得使得f、（c）0,再证a+∞,的情形（a=-∞,的情形,同理可证）.由于=+∞,取定x0∈(a,b)及μ＞f(x0),则由于f(x)在(a,b)内连续,故x1∈(a,x0),x2(x0,b),使得f(x1)=f(x2)=μ,在闭区间［x1,x2］上用罗尔定理,可得使得f、（c）=0.2.2定理1的5条推论推论1：设f（x）在（a，b）内
5、可导,且=a≠∞,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得f、（c）0.推论2：设f（x）在（a，b）内可导,且+∞,则在区间(a，b)内至少存在一点c,使得f、（c）0.若=-∞,结论同样成立.推论3：设f（x）在（-∞，+∞）可导,且==a,则在(-∞，+∞)至少存在一点,使得f、（c）0.推论4:设f（x）在（-∞，+∞）可导,且+∞，=+∞,则在区间(-∞，+∞)内至少存在一点c,使得f、（c）0.若=-∞，=-∞,结论同样成立.推论5：设f（x）在（a，+∞）可导,且==a,则在(a，+∞）至少存在一点c,使得f、
6、（c）0.3拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：f(x)在［a，b］连续f(x)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点c,使f、（c）=f（b）-f（a）b-a3.1拉格朗日中值定理几何证明方法多数教材都是通过构造辅助函数f(x)=f(x)-f(a)b-a(x-a)来证明拉格朗日中值定理的,故f(x)表示曲线y=f(x)与直线ab（y+(x-a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)）之差从而使f(x)满足罗尔中值定理的要求,利用罗尔中值定理证得结论.无论通过何种方式,只要构造函数满足罗尔定理即可找到辅助函数满足罗尔定理条件.
7、从几何意义上讲,就是找到一种几何量（长度,面积等）使得它在a,b值相等,在m点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点,使f、（）=f（b）-f（a）b-a.已知光滑曲线t：证明：引理：在平面直角坐标系中,已知a、b、c三个顶点的坐标a(f（a），g（a））,b(f（b），g（b）)，c(f（c），g（c）)则abc得面积为易知：s(x)记由(a,f（a）),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成三角形的面积,又因为s(x)在［a，b］上
8、连续,且在（a，b）可导,有s(a)=s(b)=0,则由罗尔中值定理,存在一点∈(a,b)使得s、（）=0令g（x）=x，即3.2拉格朗日中值定理推广定理1如果函数f（x）满足：(1)在区间［a，+∞］连续,(2)
