微分中值定理的证明及其应用

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1、微分中值定理的证明及其应用微分中值定理的证明及其应用牛锦波（数学与计算科学系09专升本班）指导教师：李超摘要：微分中值定理在数学分析中具有重要作用，通过它我们可以研究函数的性态。本文主要探讨了微分中值定理及其详尽证明，并揭示了三种中值定理之间的关系以及微分中值定理的求解方法与应用。通过本文的讨论，旨在深刻分析三种中值定理之间的关联以及它们在相关命题中的重要应用。关键字：微分中值定理、证明、关系、方法、应用Themid-valuetheoremsofproofanditsapplicationNiuJi

2、nBo（DepartmentofMathematicsandComputerScienceTop-09classes)20Instructor:LiChaoAbstract:：Thispaperdescribesthedifferentialmeanvaluetheoremandgivedetailedproof,thenrevealedthethreerelationshipsbetweenthemeanvaluetheoremandtheMeanValueTheoremanditssolution

3、methodinsolvingproblemsintheapplication.Keywords:differentialmeanvaluetheorem,proof,relation,method,application1.绪论在数学分析中，微分中值定理扮演了极其重要的角色。在近几年的数学类硕士研究生考试中，有关微分中值定理的命题也屡见不鲜。因而探究这类问题不仅能使我们对微分中值定理理论有进一步的理解与认识，而且对于我们的解题来说也极有必要。微分中值定理主要包括：Rolle定理、lagrange定理

4、和cauchy定理。它们是微分学的三个基本定理，也是微分学理论的基础。通过微分中值定理，我们可以研究出函数的性态（单调性，凹凸性等）。这三个定理的共同点是：在一定条件下，可以肯定它们在所给开区间内至少存在某一点，使得所研究的函数在该点具有一定的微分性质。20本文将从四个方面研究微分中值定理。首先将论述并证明这三个中值定理；接着将指出了它们之间的内在联系；进而将继续探讨微分中值定理的求解方法；最后将给出微分中值定理在几个相关命题中的应用。全文大体分为着四个部分，旨在对微分中值定理能有一个更为深刻的探究。

5、2.微分中值定理的证明2、1rolle中值定理的证明rolle中值定理：若函数f(x)满足下列三个条件：（1）f(x)在闭区间[a、b]上连续；（2）f(x)在开区间（a、b）内可导；（3）f(a)=f(b)，则在开区间（a、b）内至少有一点?，使f?(?)?0(a?证明：因为函数y?f(x)在闭区间[a、b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，它在[a、b]上必有最小值m和最大值M。如果m=M，则函数y?f(x)是[a、b]上的一个常量函数，从而在（a、b）内导数f?(x)?0，这时开区间（a、b）

6、内任意一点都可以作为定理结论中的点?。如果m?M，即m?M，由于f(a)?f(b)，因此在开区间（a、b）内至少存在一点?(a???b)，使f(?)?m或f(?)?M，下面来证明f?(?)?0。设f(?)?m(a???b)，因为m是函数y?f(x)在[20a、b]的最小值，因此对[a、b]上的任意一点???x，有f(???x)?f()?m?由于当?x?0时，f(???x)?f(?)?x?0，即f(???x)?f()?0?而函数y?f(x)在点?可导，所以f?(?)?f??(?)?lim??x?0f(?

7、??x)?f(?)?x?0（1）类似的，当?x?0时，f(???x)?f(?)从而有f?(?)?f??(?)?lim?0?xf(???x)?f(?)?x?0（2）?x?0?有（1）（2）两式即知，只有f?(?)?0f(?)?M的情形可以类似地证明。2.2lagrange中值定理的证明lagrange中值定理：若函数f(x)满足下列两个条件：（1）f(x)在闭区间[a、b]上连续；（2）f(x)在开区间（a、b）内可导，则在（a、b）内至少有一点?，使f?(?)?f(b)?f(a)b?a(a???b)f

8、(b)?f(a)b?a(x?a)证明：作辅助函数?(x)?f(x)?f(a)?其中a?x?b，由于已知f(x)在[a、b]上连续，在（a、b）内可导，所以函数?(x)也在[a、b]上连续，在（a、b）内可导，并且?(a)??(b)?0，20于是，?(x)满足rolle定理的所有条件，从而在区间（a、b）内至少有一点?，使??(?)?0由于：??(x)?f?(x)?所以f(b)?f(a)b?af(b)?f(a)f?(?)??0b?af(b)?f(a)b?a