微分中值定理及其应用

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1、第五章微分中值定理及其应用为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理．费马定理闭区间连续函数最值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理在数学分析中组成一段很漂亮的推理小链条．应用：求极限的待定型、函数作图、解极值问题§1微分中值定理定义5.1称在点达到极大(小)值，如果存在，使得是在的最大(小)值，即，．(或，)这时，称点为的极值点.。极大值极小值统称为极值．定理5.1(费马定理)设在点附近有定义．若在点达到极值，且在点可导，则.定理5.2(闭区间连续函数最值定理)若在闭区间

2、上连续，则在有最大值与最小值．即存在，使得＝，＝.定理的意义：该定理是说函数的值域＝有最大数与最小数，这一点只有对闭区间上的连续函数才保证恒成立.例如，在开区间连续，但在函数无最大值。在开区间连续，但在函数无最大值和最小值.虽然定义在闭区间，但不连续，无最大值证明用区间套定理．二等分，分点为。则，两区间中至少有一区间满足性质：另一区间中的每一个点，在这个区间中存在一个点，使得。事实上，不妨设满足上述性质，则，，使得。因为若不然，，使得，有，即满足上述性质。记，二等分，分点为，则，两区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为；二等

3、分，分点为，则，两区间中至少有一区间满足上述性质，将这个区间记为；…，如此继续下去，得一区间套，由区间套定理，存在唯一的实数。下证。，，，使，但。由区间套的构造，，使得。对，，使，但。于是，，使得。…，如此继续下去，得一数列，满足，，且。由于以及的连续性，，即。最小值的情形，只需考虑，便化为已证得最大值的情形。定理5.2的证明先证最大值的情形，用实数基本定理证明。不妨设都不是在的最大值。扩充，使它在时等于，在时等于，则它在连续，令使得，这时R的一个分划，事实上，由知不空，显然，而对任意，我们来证，如果不然，设，由知存在，使任意有，由

4、此推出存在，使得任意，有，因此＝矛盾，这就证明了构成R的一个分划，由实数基本定理，存在唯一的，使得对任意，有，下面来证明，先考虑的情形，如果不然，存在，有，这时存在，使得，且任意，有，由，知存在，使得任意有，从而。显然(否则)，这与对一切成立矛盾，这就证明了对任意，有其次考虑的情形，任意，存在使得，因此当时，有由的定义，知存在，使，若存在，使则由已证的的情形，知，结果得证；若任意，有，则由，在中令取极限，得。最小值的情形，只需考虑，便化为已证得最大值的情形，定理5.2证完。定理5.3（罗尔（Rolle，1652－1719）定理）若在

5、闭区间连续，在开区间可导，且＝，则在中存在，使得＝0.注意：定理中的三个条件缺一不可！如＝，在连续，，但不存在使＝0，这是因为在＝0点不可导.如＝满足在可导，＝，但没有使＝0，这是因为在不连续。如＝，它在不满足端点值相等，即，尽管它在连续且可导，但显然定理结论不成立.定理几何意义：在定理条件下，存在属于，曲线在的切线平行于轴。证明由在连续，知在有最大值与最小值．若＝，则在为常数，＝0当．若>，则,中至少有一个不是＝．设>＝，且＝，则且在0达到局部极值，由费马定理知＝0，定理5.3证完.定理5.4(微分中值定理，或拉格朗日中值定理)若

6、在闭区间连续，在开区间可导，则在中存在，使得＝．（拉格朗日中值公式）定理的几何意义：记，，上述等式的右边表示弦的斜率。定理说，在内总有一点，曲线在处的切线切线平行于弦．当＝时，定理5.4化为定理5.3.拉格朗日中值定理中，函数连续与可导的条件缺一不可！定理5.4的证明造辅助函数＝－－，则在连续，在可导，且＝＝0．由罗尔定理知存在，使＝0，即－＝0，这就是所要证明的，定理5．4证完．拉格朗日中值公式的其它表示形式－＝，令＝，，则公式可写成－＝，令，则，上述公式中不论或都成立，不论或都成立。与微分近似增量对比，这里不是严格等注意，介于之

7、间，是间的中值，这就是中值定理名称的由来．虽然，—般说来，我们只知它位于之间，并不能确定它的准确位置，重要的是它的存在性．推论5.1若在有，则在单调(严格单调)上升；若在有则在单调(严格单调)下降。证明设在有．任意，，由微分中值定理知存在，使－＝()，故。即在单调(严格单调)上升。另一结论同理可证。推论5.2若在有＝0，则在为常数。证明对任意，存在在之间使得－＝()＝0，这就证明了在的任意两点的函数值相等，从而在等于常数。中值定理在证明不等式中的应用例1证明不等式，且证明函数＝在或上满足拉格朗日中值定理条件，故＝＝，在0与之间。当时

8、，当时，故都有令，即得例2函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使得即＝或＝对上式令取极限，这时有，从而得请读者思考，这与不存在矛盾吗？作为拉格朗日中值定理的推广，还有下面的定理。定理5.5（柯西中值定理）若与在闭区间上连续