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《微分中值定理的证明探讨及其推广》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、毕业论文（2010届）题目微分中值定理的证明探讨及推广学院数学计算机学院专业数学教育年级2006级学生学号12006242777学生姓名何慧君指导教师丁生虎2010年5月7日微分中值定理的证明探讨及其推广摘要:数学分析教材中对微分中值定理的证明，一般是采用引入辅助函数,再利用罗尔定理的结论来证明的．文章着重探讨柯西中值定理、拉格朗日中值定理的一种新证法,并给出了定理的推广形式．关键词:中值定理；证明；推广中图分类号：O172ProofandExtensiononDifferentialMeanValueTheoremAbstract：Theproofofth
2、edifferentialmeanvaluetheoreminmathematicalanalysisteachingmaterialsgenerallyisusedtointroduceauxiliaryfunctions,andthenusingtheconclusionsofRolle'stheoremtoprove．NewproofisconsideredontheCauchymeanvaluetheoremandLagrangemeanvaluetheorem．Andmeanwhile,theextensionondifferentialmeanv
3、aluetheoremhasbeengiven．Keywords:meanvaluetheorem;proof;extension1目 录 1引言12微分中值定理13微分中值定理证明的新方法23．1洛尔定理的证明23．2拉格朗日定理的证明33．3柯西定理的证明54 微分中值定理的探讨及其推广84．1对的探究84．2微分中值定理的推广94．3关于柯西中值定理的一种推广10致谢13参考文献142微分中值定理的证明探讨及其推广数学计算机学院数学教育专业2010届何慧君1引言微分中值定理是微积分学中的重要定理,微积分的许多命题和不等式证明都要以它为依据,特别是在证明
4、有关中值问题时,显示了其不可替代的重要作用,在微分中值定理中,柯西微分中值定理是最一般的情况,而拉格朗日和罗尔中值定理都是它的特例．证明微分中值定理的最一般的方法是通过构造辅助函数来证明的，但不止这一种方法，本文力求给出较新的方法来证明．2微分中值定理罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学基本定理．定理2．1（罗尔中值定理）设函数满足条件[1]（ⅰ）在闭区间上连续；（ⅱ）在开区间内可导；（ⅲ）；则在内至少存在一点，使得．定理2．2(拉格朗日中值定理)设函数满足条件（ⅰ）在闭区间上连续；（ⅱ）在开区间内可导；则在内至少存在一点,使得或．定理2．3(柯西中
5、值定理)若函数与在闭区间上连续,在开区内可导,并且,则在内至少存在一点,使得．143微分中值定理证明的新方法3．1洛尔定理的证明引理3．1．1（闭区间套定理）设闭区间列具有性质［2］（ⅰ）；（ⅱ）则存在唯一一个点属于所有的闭区间，证明 记，．不妨设（的情况证明类似）．从中选出一个记作，使得（当这3个函数值有2个或3个相同时，选取，以的排列次序，左边的优先当选）．并令，，，，从中又选出一个记作，使，并令，，，如果不断继续下去,得到一个闭区间套 （1）并满足， （2）由闭区间套定理知存在，使14， （3）根据的连续性 （4）事实上,若有，
6、故，若，由区间的作法，知，由（1）式 ，（5） 令，由（5）式得（）此证明是构造性的，即不仅证明了的存在性,而且给出了找的方法．3．2拉格朗日定理的证明（1）首先分析推理：欲证，成立即证成立，只需证成立，如果设则,只需证明，成立14（2）的几何意义：如图1D图1在数值上为矩形的面积，在数值上为矩形的面积，则在数值上，恰好是矩形与矩形的面积之差．（3）证明作辅助函数显然，在上连续，在内可导，因为所以因此，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点，使得14成立，即．定理得证．3．3柯西定理的证明（用拉格朗日定理证明柯西定理）拉格朗日中值定理[３]的几何意义是：如
7、果在连续曲线上，除端点外处处有不垂直与轴的切线，那么在曲线上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于连接曲线两端点的弦．如果曲线的方程以参数方程给出，那么，弦的斜率为由参数式函数的导数公式知，曲线在点处的切线的斜率为假定与点对应的参数为，于是曲线在点处的切线平行于弦，表示为这一事实将在下面证明．我们可以看到，柯西中值定理与拉格郎日中值定理有着密切的联系．如果柯西定理中的（相应地，，），那么柯西定理就成了拉格郎日定理．我们知道，证明拉格郎日定理的关键是引入辅助函数由此想到，是否可以将上面辅助函数中的改成，相应地把与分别换成与．以此作为证明柯西定理的辅助函数．这一想
8、法在下面的证明中得到了证实．14证明首先证明，即由于
