微分中值定理的证明及推广-论文.pdf

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1、2014年10月枣庄学院学报Oct．2014第3l卷第5期JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSⅡVo1．31N0．5微分中值定理的证明及推广程建玲(郑州华信学院基础部，河南郑州451150)[摘要]基于拉格朗日中值定理与柯西中值定理的基本原理，构建了罗尔定理不同系数的辅助函数，用这些辅助函数重新证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并且推广了微分中值定理．[关键词]微分中值定理；辅助函数；构造[中图分类号]0129[文献标识码]A[文章编号]1004—7o77(2014)05-0063—040引言国内外多种高等数学教材在证明微分中值定理时，大都引进满足定理条件的辅助函数，然

2、后应用罗尔定理证明．有利用面积构造辅助函数⋯，有利用距离构造辅助函数，有利用坐标轴旋转变换构造辅助函数]，还有利用微分方程构造辅助函数．然而，辅助函数是如何找到的?它们之间有没有联系?辅助函数有没有一般形式?这些问题教材谈的比较简单，不是很深入透彻，初学者不容易理解．笔者经过反复思考，对这些问题进行探讨，最终得出构造辅助函数的一般形式．1拉格朗日中值定理中辅助函数的构造1．1拉格朗日中值定理如果函数)满足下列条件：(1)在闭区间[a，6]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；那么在开区间(。，6)内至少存在一点，使得厂()=．1．2拉格朗日中值定理的证明中辅助函数的构造与罗尔定理比较发

3、现缺少—个条件口)=6)，我们自然想到构造—个函数()，这个函数一定要与)有关且满足(。)=(6)．从拉格朗日定()=，并联系图1来看，曲线Y=)的弧段AB上，至少存在一点c())处的切线平行于弦AB．Y／b图1拉格朗日中值定理图【收稿日期]2014—06—19【作者简介]程建玲(1981一)，女，河南登封人，郑州华信学院基础部讲师，理学硕士，主要从事偏微分方程的研究·63·枣庄学院学报2014年第5期过原点且平行于弦AB的直线J乙的方程为)，：__=，用)与此函数作差)一__二，这个函数在两个端点A、B处的函数值恰好相等，都是D—a二她．这个等式的几何意义是明显的，就是线段AA，：BB

4、，．如果令()=cIf()一]+d，其中c，为任意常数且c≠o，容易验证()满足罗定理的三个条件．当c=1，d=o时，得到()=)一鱼(1)此时就是过原点(0，0)且平行于AB的直线．当c=1，=一)时，()=)一n)一(一口)(2)此时就是直线AB．当c=1，d=时，(戈)=)一(—n)(3)D一口。0一口此时L就是过点(a，0)且平行于AB的直线．当c=1，d=m一时，妒()=)一n一(一m)D一口‘D一a(4)此时L就是过点(m，n)且平行于AB的直线．以上(1)(2)(3)(4)任一个辅助函数都可以用来证明拉格朗日定理．以上这些辅函数都有一个共同特点：直线L都平行于弦AB，这样作

5、差后构造的辅助函数在两个端点的函数值才能相等．2柯西中值定理中辅助函数的构造2．1柯西中值定理如果函数)，g()满足下列条件：(1)在闭区间[a，6]上连续；(2)在开区间(a，6)内可导；那么在开区间(。，6)内至少存在一点，使=轰鲁．2．2柯西中值定理的证明中辅助函数的构造受拉格朗日定理证明中构造辅助函数的方法，一般地可设辅助函数为：()=cIf()一尝专—糟()]+d其中C，d为任意常数且c≠0，容易验证()满足罗尔定理的三个条件．当c=1，=o时，得到()=)一告貉()，(5)当c=1，d=轰t糌()时，得到()=)一[g()一g(a)]，(6)当c=1，=(。)一_厂()时，得

6、到()=)一。)一争[g(戈)一g(训，(7)当c=g(6)一g(a)，d=g(a)6)一g(6)-厂(a)时，得到()=[g(b)一g(a)l厂()一[b)一a)]g()+g(a)b)一g(b)a)．64·程建玲微分中值定理的证明及推广l111llo)b))l(8)Jg(口)g(b)g(){3微分中值定理的推广我们知道，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定J~A!SL是拉格朗日中值定理的推广，更一般地可推广成如下定理．定理1：设函数)，g()，()都在区间【，6]上连续，在区间(n，6)内可导，则存在叼E(0，6)使I口)6)厂(，7)Ig(n)g(b)g(叼)=0lh(0)h

7、(b)h(．，7)c叼；+gc叼，』：jjI+c叼Jj：jl=。I)b))lF()=lg(o)g(6)g()Ilh()h(6)h()l显然，F()满足罗尔定理的三个条件，因此存在点rl∈(0，b)使得F()=0，定理1得证．此定理的几何意义是：若空间曲线，=t){y=g(t)，o≤￡≤b【：(t)在两端点处连续，在内点处都有切线，则存在r／∈(0，b)使曲线上点(叼)，g(77)，h(，7))处的切向量(厂(叼)，g(r1)，h(r