微分中值定理的证明及运用

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1、摘要微分中值定理是微分学的重要的基本定理，它可用于求极限，证明不等式与等式，证明函数单调性等数学问题。木文介绍柯西屮值定理的多种证明方法及运用。其中证明方法有利用构造辅助函数证明；根据罗尔定理证明；利用坐标旋转变换证明；利用闭区间套定理证明；利用反证法证明；利用达布定理证明；利用复合函数证明；利用同增量性证明。其应用发而为求极限；证明不等式；证明单调性。加深对柯西中值定理的理解，对学习微积分有巨大的指导意义。关键词：柯西中值定理；证明；应用ProofandapplicationofCauchymeanvaluetheoremAbstractTh

2、edifferentialmeanvaluetheoremisthebasictheoremofdifferentialcalculus,itcanbeusedtolimit,toproveinequalityandequality,toprovethemonotonicityoffunctionsasamathematicalproblem.ThispaperintroducesavarietyofCauchymeanvaluetheoremproofmethodandapplication.Themethodofproofbyconstru

3、ctingauxiliaryfunctioninproving;accordingtoRolletheoremproving;proveusingcoordinaterotationtransform;withclosedintervaltheoremproving;thereductiontoabsurdity;useofDarbouxtheoremproving;compoundfunctionisusedtoprovethesameincrementproof.Itsapplicationtolimit;toproveinequality

4、;provethemonotonicity.TodeepentheunderstandingofCauchymeanvaluetheorem,hasgreatguidingsignificancetostudycalculus.Keywords：Cauchymeanvaluetheoremproving;application；一引言微分中值定理是微分学的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗FI中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。其中罗尔中值定理是最简单最特殊的微分中值定理,其余屮值定理的证明都也满足罗尔条件为出发点或落脚点。所以文章开篇Z前介绍罗尔

5、微定理。若函数/满足如下条件：(z)/在闭居间［a,列上连续;(“)于在开区间(a,b)内可导;(ni)/(a)=/(b)则在(d,b)内至少存在一点歹，使得f(歹)=0。给出和前面两者比较，柯西中值定理更具有一般性。木文主要是从多个角度介绍柯西屮值定理的证明方法和若干应用。以便更好的认识微分屮值定理。二柯西中值定理的证明柯西屮值定理的证明方法的探讨与研究历来是一个引人注口的问题。常见的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理证明。但近年来，陆续冇作者给出了一些新的证法或新的设想。本文在查阅大量资料的基础上借鉴了而人的一些证明思想，得岀关于这一定理

6、的几种证明方法。现给出柯西的微分中值定理。设函数/和g满足(i)在［a.b］上都连续；(ii)在(a,b)上都口J导，(iii)厂⑴和g©)不同时为零;(iv)g(d)Hg(b)则存在gw(a,b),使得g'(g)g(b)—g(a)2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理利用罗尔定理来证明柯西屮值定理的关键是构造一个辅助函数，使其满足罗尔定理的条件。我们对如何确定辅助函数的思路进行分析，可得出以下几种方法。2.1.1仿拉格朗日中值定理证明在拉格朗日中值定理证明中，我们引入辅助函数F(x)=/(x)—“(0)+'(?一/⑷(―町］将x取的值b换成g(x

7、)取的值g(a)、g(b),我们可引入辅助函数b—ci显然F⑴满足罗尔沱理的条件.F(b)=F(a),所也根据罗尔定理仏b)使得2.1.2反向分析法为了证明在仏◎内至少存在一点使等式y=半成立，考g[b)-g(a)g(歹)虑证明即皿)一册挣(皿戶故可考虑f(x)=o/Wba)满足罗尔定理条件，由此引入辅助函数g(b)—g⑷%)")一策黑使得厂心同理，也可考虑证明[g0)-g⑷]厂⑷-[/3)-/(d)]g'(0=O成立，即[(g(")—g⑷)/(x)—(/@)—/(a))g(x)]

8、x<=0F(x)=[g(h)-g(a)]f(x)-[f(b)-

9、f(a)]g(x)由此引入辅助函数F⑴=[g0)-g(a)]f⑴-[f(b)-f(a)]g(x)使得F©=02.1.3待定系数法证明设F(x)=kj(