微分中值定理有关证明

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1、☆例1设在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且，.试证：必存在，使证：∵在[0，3]上连续，∴在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是；；，故.由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在使得。☆例2设在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且求证：存在使证：由积分中值定理可知，存在，使得得到对在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在，使☆例3设在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意，有，求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使而∴又，则在例3的条件和结论中

2、可以看出不可能对用罗尔定理，否则结论只是，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数，它与有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。模型Ⅰ：设在上连续，（）内可导，则下列各结论皆成立。（1）存在使（为实常数）（2）存在使（为非零常数）（3）存在使（为连续函数）证：（1）令，在上用罗尔定理∵∴存在使消去因子，即证.（2）令，在上用罗尔定理存在使消去因子，即证。（3）令，其中由清去因子，即证。例4设在上连续，在（0，1）内可导，，，试证：（1）存在，使。（2）对任意实数，

3、存在，使得证明：（1）令，显然它在[0,1]上连续，又，根据介值定理，存在使即（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取为，取为）模型Ⅱ：设，在上皆连续，（）内皆可导，且，，则存在，使证：令，则，显然在[]上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即证.例5设在[0,1]上连续，（0,1）内可导，，为正整数。求证：存在使得证：令，，则，，用模型Ⅱ，存在使得故则例6设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点证：反证法：设，，而在内，则令在上用罗尔定理[]（不妨假设否则结论已经成立）则存在使，得出与假设条件矛盾。所以在

4、内至少有一个零点例7设在[]二阶可导，且，又求证：（1）在（）内；（2）存在，使证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在[]和[]上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在[]上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内（2）由结论可知即，因此令，可以验证在[]上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立例8设在上连续，（0，3）内二阶可导，且（I）证明存在使（II）证明存在使证：（I）由积分中值定理，存在，使故存在使即（Ⅱ）由，可知，∵在上连续由价值定理可知存在，使，由于在上连续，内可导，且根据罗尔定理存在，使又在上连续，内可导，且根据罗尔定理存在（可知）使，最后对在上用罗尔定理可知

5、存在使