微分中值定理的证明、推广以及应用

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1、微分中值定理的证明、推广以及应用微分中值定理的证明、推广以及应用1引言　　在高等数学中微分中值定理占有着非常重要的作用,微分中值定理不仅是微积分的重要结论之一,也是最基本的定.L点取得极值,满足罗尔定理,即可导出拉格朗日中值定理.　　已知f(x)在［a,b］连续,在(a,b)可导,证明在(a,b)中至少存在一点,使f、（）=f（b）-f（a）b-a.　　已知光滑曲线T：　　　　证明：引理：在平面直角坐标系中,已知A、B、C三个顶点的坐标A(f（a），g（a））,B(f（b），g（b）)，C(f（c），g（c）)　　则ABC得面积为

2、　　　　易知：S(x)记由(a,f（a）),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成三角形的面积,　　　　又因为S(x)在［a，b］上连续,且在（a，b）可导,有S(a)=S(b)=0,　　则由罗尔中值定理,存在一点∈(a,b)使得S、（）=0令g（x）=x，即　　.L　　那么在(a，+∞)内至少存在一点c(a＜c＜+∞),　　使得f、（c）=［M-f（a）］/（c-a+1）2.　　证明：令t=1x-a+1,即x=1t+a-1=φ(t)　　3.3拉格朗日中值定理推广定理2　　如果函数

3、f(x)满足：　　(1)在区间(-∞，+∞)连续,　　(2)在区间(-∞，+∞)可导,　　　　3.4拉格朗日中值定理推广定理3　　设函数f在闭区间［a,b］上连续,　　若函数在(a,b)内除了有限个点外可微,　　则存在c∈(a,b),使得｜f(b)-f(a)｜≤｜f、(c)｜（b-a）.　　证明：不妨设f仅在d∈（a，b）不可微,分别在区间［a,d］与［d,b］上应用拉格朗日中值定理,则得到　　　　3.5拉格朗日中值定理推广定理4　　　　这个证明方法显然可以推广

4、到f在n个点（n＞1）上不可微的情形.　　4微分中值定理的应用　　1.设f(x)在［a,b］上二阶可导,f(a)=f(b),证明：对任意x∈［a,b］,存在c∈,［a,b］使得,f(x)=f、、（c）2（x-a）（x-b）　　证明：固定x∈（a，b）令λ是使f(x)=λ2成立的常数（由于f(x),12(x-a)(x-b),都是常数,这个λ必然存在）.　　于是我们只需要证明存在c∈［a,b］,使f、、（c）2=λ,　　令F(t)=f

5、（t）-λ2(t-a)（t-b）,　　由于f（a）=f（b）=0,得到F、（　　瘙窞1）=F、（　　瘙窞2）=0,　　再从λ,的定义知,F(x)0.　　在区间［a，x］［x，b］,上分别对F(t)应用罗尔定理,　　得到　　瘙窞1，　　瘙窞2，a＜　　瘙窞1＜　　瘙窞2＜b,使F、（　　瘙窞1）=F、（　　瘙窞2）=0,　　在闭区间［　　瘙窞1,　　瘙窞2］上,对F、（t）应用罗尔定理,　　则得到c∈（　　瘙窞1,　　瘙窞2）［a，b］,　　

6、使F、、（c）=0,即f、、（C）=λ,证毕.　　2.设f为［a，b］上二阶可导函数,f（a）=f（b）=0,并存在一点c∈（a，b）,使得f（c）＞0.证明：至少存在一点∈(a,b),使得f、、（）＜0.　　证明：由拉格朗日中值定理中,存在1∈(a,c),使f(c)-f(a)=f、（1）（c-a）,　　由于f（a）=0,f（c）＞0,c-a＞0故f（1）＞0,　　又对f（x）在［c，b］上应用,拉格朗日中值定理,　　存在2∈(c,b)使得f(

7、b)-f(c)=f、（2）（b-c）,　　因为f（b）=0,f（c）＞0,（b-c）＞0.　　故f、（2）＜0,由于α＜1＜c＜2＜b.　　∴f、（x）在［1,2］上可导,　　故存在∈（1，2），（1，2）（a，b）,使f、（（1）-f、（（1）=（2-1）f、、（）.　　因此得出f、、（＜0.