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1、微分中值定理的证明、推广及应用数理学院[摘要]本文主要阐述了微分中值定理的详细的证明过程以及一些证明的新方法,三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、证明不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用[关键词]微分中值定理；证明；推广；应用ApplicationofdifferentialmeanvaluetheoremproofMathematicalInstituteAbstract:thisarticledescribesmoreofdifferentialmeanvalueth
2、eoremprovingprocess,aswellassomenewwaystoprove,amongthreedifferentialmeanvaluetheoremtoprove,andthemeanvaluetheoremforacertainpromotion,andspecificanalysisofdifferentialmeanvaluetheoremtoprovethatequation,provinginequalitiesaswellasdiscusstherootsofequationsofseveralareasofap
3、plicationKeywords:differentialmeanvaluetheoremsforapplication；certification；promotion25目录1引言…………………………………………………………………………………12微分中值定理的概念………………………………………………………………13微分中值定理普遍的证明方法……………………………………………………13.1费马定理………………………………………………………………………23.2罗尔中值定理…………………………………………………………………33.3拉格朗日中值定理…
4、…………………………………………………………43.4柯西中值定理…………………………………………………………………54中值定理的推广……………………………………………………………………54.1关于几个中值定理新的证明方法……………………………………………64.2微分中值定理的推广…………………………………………………………84.3微分中值定理的弱逆定理…………………………………………………125微分中值定理的应用……………………………………………………………145.1对微分中值定理进行验证…………………………………………………145.2利用微分中
5、值定理证明等式和恒等式……………………………………145.3利用微分中值定理证明不等式……………………………………………185.4讨论方程根的存在性……………………………………………………20结束语………………………………………………………………………………22参考文献……………………………………………………………………………23致谢…………………………………………………………………………………23251引言微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称。它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成
6、果。从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛。微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用。因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容。2微分中值定理的概念所谓微分中值定理,其实是指一个（或多个）函数导数（或、…）与其增量（或、…）之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.3微分中值定理普遍
7、的证明方法证明微分中值定理时用到的几个概念及条件:最小值与极小值:(1)对,,若使,,则称为的最小值.为最小值点.(2)设在上有定义,若.则称为的一个极小值,称为极小值点.极限的局部保号性：若,则.函数单调性:在函数的定义域范围内,若有时,则称单调递增.若有时,,则称单调递减.3.1费马定理25定理1设在区间有定义.若是函数的极值点,且在处可导,则.费马定理的几何意义:若将函数的曲线置于平面直角坐标系,则费马定理具有几何意义:对曲线上,若有一点存在切线,且为极值点.则这一点处的切线平行于轴.证法只需证明.证明:为的极值点.不妨设为极小值点,则,有
8、.若,则;若,则;取极限:与分别为、由于在处可导,则==.由极限的局部保号性有:,.故==.25所以有即3.2罗尔中值定理定理2设满足:
