积分第二中值定理的证明

《积分第二中值定理的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、上一篇文章讲了积分第一中值定理的证明，并给出了积分第一中值定理更一般的形式，这篇主要讲积分第二中值定理的证明。积分第二中值定理：在区间上可积，在区间上单调，那么在上存在内点，使得：特别的，当在区间两端连续时，有积分第二中值定理是一个更为精确的分析工具，在证明这个定理之前，先介绍Abel引理。Abel引理：数列和，对于任意的，有实际上：下面给出Abel引理的一个理解方式，便于记忆。众所周知，积分与求和，微分与差分有许多相似之处，一个是对连续函数而言，一个是对离散的数列而言，只要把函数与数列的一些定理放在一起比较，就会发现

2、异曲同工之处。那么就来回顾一下分部积分的方法：区间上的连续函数与，有再看上面的Abel引理，对应，对应，符号对应，对应，对应，最后你会发现上面的Abel引理就对应了分部积分的这种形式。我们在计算积分的时候，适时使用分部积分会给计算带来很多好处，同样对于数列的处理，利用Abel引理进行变换也能带来很多好处，下面就进入正题，证明积分第二中值定理。用表示区间上的一个划分，表示划分的最大长度，接下来设非负且单调不增。将得到：，其中。用表示在区间的上确界，令，则：因为，则，即。下面将用Abel引理变换上面的式子：令，，那么，分别

3、用和来表示的在区间的上下确界，显然有，令，由于单调不增且非负，则有：，当，有，，不等式可写为：，根据的连续性，区间存在内点，使得。如果非负且单调不减，令，则，其中，因此，综合可得，当在区间上单调，积分第二中值定理可表述为：。特别地，若在区间上单调且连续，则这种情况可以用分部积分给出推导过程，尽管不是严格的证明，但是从这个过程中应该能加深对积分第二中值定理的理解。令，可知，则，在区间上，当单调不减时，，，单调不增的情况同理可得。