中值定理证明(第二讲

《中值定理证明(第二讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第二讲中值定理的证明问题第二讲利用中值定理的证明以及不等式证明问题1．利用罗尔定理证明根的存在问题例1．设函数在上连续，在内可导，且，，证明：至少存在一个，使．证明：（分析）用罗尔定理证明根的问题，关键是构造原函数，因此做题目往往从需要证明的结论中入手，通过移项使右边等于零来寻找原函数。令，显然在上连续，在内可导，且，，由零点定理可知，存在一个，使，又；对在上用罗尔定理，存在一个，使得，即．注：构造函数方法1（原函数法）：（1）将欲证结论中的换成；（2）通过恒等变形将结论化成为易消除导数符号形式（或称为易积分形式）；

2、（3）用观察法或积分法求出原函数（即不含导数符号的式子），为了简便积分，常数取作零；（4）移项使等式一边为零，则令另一边即为所求辅助函数．例2．设函数在闭区间上可导，且满足关系式，证明：在开区间内至少存在一个，使得．分析：令，原等式化为：，即=，两边积分得，即，亦即，取，于是令．证明：设函数，显然在上连续，在内可导，由条件14第二讲中值定理的证明问题应用积分中植定理，有．于是，，，可知，满足罗尔定理条件，故存在使得，即．注意：实际上找辅助函数可从结论中入手推出：，显然有．例3．设函数，在上连续，在内可导，且，证明存在

3、一个，使．分析：令，则结论=，则，两边积分，得，即，亦即（取），于是令．例4．设，在上二阶可导，且，，试证：（1）在开区间内，；（2）在开区间内至少存在一个，使．分析（2）令，则欲证结论，则有，两边从积分得（分部积分）14第二讲中值定理的证明问题，于是令．例5．设函数在上连续，在内可导，证明在内至少存在一个，使．分析：从结论可看出，所以令．注意：构造辅助函数方法2（常数k值法）（1）令常数部分为k；（2）恒等变形，使等式一端为及构成代数式，另一端为b及构成代数式；（3）分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式，若

4、是，只要把端点改为，相应的函数值改为，则换变量后的端点表达式就是所求辅助函数．如例5．令（对称性）对称式：与b互换等式不变；轮换对称式：等式不变．令，例6.设在上连续，在内可导，，试证，存在一个使．分析：结论，令（对称式），所以，或者：由结论：，令，，应用柯西中值定理．例7．设函数在上可导，且，试证：在内至少存在一个，使得14第二讲中值定理的证明问题．例8．若在上可导，且，则使.分析：令，，令令.令，,，令令.2．证明至少存在一点，且满足某种关系式的问题思路：使用两次拉格朗日中值定理或者柯西中值定理，或者使用一次拉格

5、朗日中值定理，一次柯西中值定理，然后再将他们做某种运算．例8．设函数在上连续，在内可导，，试证，存在一个14第二讲中值定理的证明问题，使得：证明：分析：用一次拉格朗日中值定理得，存在故只需证明即，柯西中值定理设，则，显然函数在上满足柯西中值定理条件，于是存在，使得，即，又因为在上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在，使得，于是，由上述两式可得：，其中．例9．(10,10分)设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，，证明：存在，使得.【分析】这是一个双介值的证明题，构造辅助函数，用两次拉格朗日中值定理.【证明】令，由题

6、知，在上用拉格朗日中值定理，，14第二讲中值定理的证明问题在上利用拉格朗日中值定理，，两式相加得.【评注】一般来说，对双介值问题，若两个介值有关联同时用两次中值定理，若两个戒指无关联时用一次中值定理后，再用一次中值定理.例10．设在上连续，在内可导，且，，试证明：对于任意给定正数，在内存在不同的使得证明：因为，所以，又在上连续，由介值定理，存在，使得．再对函数在上分别用拉格朗日中值定理，有，而，于是由上两式得：则，上面两式相加，得：，即．14第二讲中值定理的证明问题（练习：1.设函数在上连续，内可导，且，证明：在内存

7、在一点，使2.设函数在区间上连续，在内可导，且，.试证：必存在，使.）3．设在上存在，，试证：，使得.（提示：轮换对称性）4.若，证明：存在一个，使.（提示：对称性））3．证明不等式例11．设，证明：.证明：用单调性质来证明，先移项或转化使一边为零，然后再构造适当的函数求一阶导数，若不能判定正负，则继续求导数.若，则内单调递增.要证，只需证明令，，很难判断其正负，，在上单调递增，而在上单调递增，而.（练习：1.(98,8分)设，证明：14第二讲中值定理的证明问题（1）；（2）.【分析】利用函数的单调性证明不等式..【

8、详解】（1）令，则有，且，.，，，.所以，从而，即‘（2）令，，则有.由（1）知，（当），于是推知在内，单调减少.又在区间上连续，且，故当时，，不等式左边证毕.又，故当时，，不等式右边证毕.【评注】利用单调性证明不等式是最常见的方法之一，一般结论为，在内单调增加.）14第二讲中值定理的证明问题例12．设，，求证：.证明:利用微分中值定理证明，只