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《第4讲+中值定理与不等式证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第五讲中值定理及不等式证明题型一闭区间上连续函数的命题【例1】设函数在上连续，且.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使【详解】方法1：因为与在上连续，所以存在使得，，满足．又，故根据不等式的性质根据定积分的不等式性质有所以由连续函数的介值定理知，存在，使即有．方法2：因为与在上连续，且，故与都存在，且记，于是即因此必存在使．不然，则在内由连续函数的零点定理知要么恒为正，从而根据积分的基本性质得；要么恒为负，同理得，均与不符．由此推知存在使，从而．【例2】设函数在上连续，且，试证明：在内至少存在两个不同的点，使【证明】
2、方法1：令，有由题设有.又由题设，用分部积分，有由积分中值定理知，存在使因为，，所以推知存在使得.再在区间与上对用罗尔定理，推知存在，使，即方法2：由及积分中值定理知，存在，使.若在区间内仅有一个零点，则在区间与内异号.不妨设在内，在内.于是由，有当时，，；当时，，仍有，得到：.矛盾，此矛盾证明了在仅有1个零点的假设不正确，故在内至少有2个不同的零点.【例3】设在上连续，，求证：，使证只要证令由于，及则在上满足罗尔定理条件，故，使从而有【例4】设在上连续，证明：使题型二有关“使”的命题【例5】设函数在[0,1]上连续,(0
3、,1)内可导,且,证明在(0,1)内存在一点,使.【解析】由定积分中值定理可知,对于,在区间上存在一点使得,即.由罗尔定理可知,在区间内存在一点,使得.【例6】假设函数在上连续,在内二阶可导,过点与的直线与曲线相交于点,其中.证明:在内至少存在一点,使.【解析】因为分别在和上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在,使得由于点在弦上,故有从而这表明在区间上满足罗尔定理的条件,于是存在,使得.【例7】设函数，在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：存在使得【详解】欲证明存在使得，可构造函数，从而使用介值定理，微分
4、中值定理等证明之.令，由题设存在相等的最大值，设，使得.于是，若，则取有.若，则取有.若，则由连续函数介值定理知，存在使.不论以上哪种情况，总存在使.再，将在区间分别应用罗尔定理，得存在使得；再由罗尔定理知，存在使.即有.【例7补充】（（95，1）假设函数和在上存在二阶倒数,并且,,试证：(1)在开区间内；(2)在开区间内至少存在一点,使.【解析】(1)反证法.假设,使.则由罗尔定理,与使；从而由罗尔定理,,.这与矛盾.(2)证明本题的关键问题是：“对谁使用罗尔定理？”换言之,“谁的导数等于零？”这应该从所要证明的结果来考
5、察.由证明的结果可以看出本题即证在存在零点.方法一：注意到,考察的原函数,令,在可导,.由罗尔定理,,使.即有,亦即.方法二：若不能像前面那样观察到的原函数,我们也可以用积分来讨论这个问题：.(取).令,其余与方法一相同.【例8】设函数在上连续，在内存在二阶导数，且，(I)证明：存在使(II)证明存在，使证明：(I)，又在上连续由积分中值定理得，至少有一点，使得，存在使得。(II)，即又在上连续，由介值定理知，至少存在一点使得在上连续，在上可导，且由罗尔中值定理知，，有又在上连续，在上可导，且由罗尔中值定理知，，有又在上二
6、阶可导，且由罗尔中值定理，至少有一点，使得题型三欲证结论为使或的命题【例9】设在上连续，在内可导,,与同号。求证:使证：只要证令则，由罗尔定理知，使，即原题得证【例10】（设在上连续，在内可导且，.求证：使使证：只要证令则，由罗尔定理知，使，即从而有原题得证【例11】设在上连续，在内可导，且.求证：使证：令则，由罗尔定理知，，使即但，则故原题得证．【例12】设在上连续，在内可导，，试证1）存在，使2）对任意实数，存在，使证1）令,由零点定理知，使即2）令，，由罗尔定理知，使，从而有故【例13】设在上二阶可导，且，.求证：1
7、）使2）使证1）由知，，且存在，当时，，从而有，取，则，同理由知，且存在，．由于在上连续，且，，由零点定理知，使．2）令，由于，由罗尔定理知，，，使，且即，令，则由罗尔定理知，使从而有即【例14】设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足证明：存在ξ∈(0,1),使得【详解】将要证的等式中的换成，移项，并命问题转化为证在区间内存在零点.将看成一个微分方程，用分离变量法求解.由两边积分得利用及，得，即，命.由及积分中值定理(如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使得)，知至少存在一点，使且，
8、.把代入，则那么在上连续，在内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得即题型四、双介值问题【例14】设在上连续，在内可导，且同号，试证存在，使证由拉格朗日中知定理知，使由柯希中值定理知，从而有【例15】设在上连续，在内可导，且，试证存在使证只要证明由拉格朗日中值定理得，使令，由拉格朗中值定理得，，即从
